11.3角平分线的性质学案(2课时).doc

§11．３ 角平分线的性质　　　两课时　　　学案 教学目标 1、能够证明角平分线的性质定理、判定定理 2、能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题 教学重点和难点 重点：角平分线的性质定理、判定定理 难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题 教学过程设计 探究：　 下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB． 思考： １．用　　　　　可以截相等的线段 ２．在以上基础上，已知一角如何画出该角的平分线 一、尺规作图 1、已知：∠AOB， 2、练习，画出下列角的平分线 求作：∠AOB的平分线OC 3、练习，教材P19 ３．已知　∠AOB，OC平分线∠AOB，你会利用此图构造全等三角形吗 二、角平分线的性质 （1）点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂线，这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离。 探究：　课本２０页 如图：OP平分∠AOB ，PE⊥OA，PD⊥OB，显然PD的长度是　　　　　　　， PE的长度是　　　　　　　　　　　　 　　　　PE，PD有何关系？　请加以证明 证明： 角平分线性质定理（　即已知角的平分线，能推出什么样的结论）　 　数学语言：　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　 用符号语言来翻译这句话．请填下表： 　（老师在此补充命题证明的步骤） 符号语言 ∵　　　　　　　　　　　　　 　　　　或　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴　　　　　　　　　　 思考：那么在角的内部，到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 根据下表中的图形写出已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并加以证明： 证明:  由此得角平分线的判定 三、角平分线的判定定理 定理：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 符号语言 ∵ 　　　　　　　　　 　　　 　　　 ∴ 　　　　　　　　　　　　　　或　　　　　　　　　　　 思考：角平分线的判定和性质之间有什么联系？ 四、应用：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？ 1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质和判定有关吗？用哪一个解决这个问题？ 2．比例尺为1：20000是什么意思？ 结论：1．应该用　　　　　　　　　．集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处． 2．在纸上画图时，常用厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中　　　表示实际距离　　　　　　的意思．作图如下： 第一步：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第二步：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 总结：应用角平分线的性质和判定，可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，可以直接利用性质解决问题． 五、练习 1、如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等． 思考：点P在∠A的平分线上吗？为什么？ ２、如图，△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角的平分组CE相交于P, 求证点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等。 思考：到三角形三边所在直线距离相等的点有几个？ 讲解例题 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且∠1 =∠2。 求证：OB = OC。 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且OB = OC。 求证：∠1 =∠2。 例３．在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。 课堂练习： １.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？⑵哪条线段与DE相等？为什么？⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长 ２．如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；求证：CF=EB 3.△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，求证EB＝FC 4.如图，在△ABC中，AC = BC，∠C = 90°，AD是△A