高阶高斯积分节点的高精度数值计算.pdf

维普资讯 高阶高斯积分节点的高精度数值计算 张庆礼 ，王晓梅 ，殷绍唐 ，江海河。 (1．中国科学院安徽光学精密机械研究所，合肥 230031；2．中国科学院环境光学与技术重点实验室，合肥 230031； 3．中国科学院合肥物质科学研究院，合肥 230031) [摘要] 在工程数值计算、X射线衍射线形分析、光谱学等领域常使用高斯数值积分，高斯积分的节点及权重 因子是数值积分的必须数据。研究了高次勒让德 、拉盖尔和厄米多项式的零点 ，即高斯一勒让德、高斯 一拉 盖尔、高斯一厄米积分的节点的计算方法，给出了一种有效的高精度数值算法——搜索迭代方法(scan-iteration method，SIM)。根据勒让德、拉盖尔 、厄米多项式的特点，对拉盖尔多项式、厄米多项式的定义稍做变化后 ，获 得了计算多项式值的稳定递推关系。求它们的根时，先在一定范围内以一定的步长搜索根所在的区间，获得 所有根的各 自区间范围后，再通过常用的迭代方法如割线法 、二分法进行求解。数值实验表明，这种方法是 非常有效的，可获得高次勒让德、拉盖尔、厄米多项式的全部高精度根值。 [关键词] 高斯积分 ；勒让德多项式；拉盖尔多项式；厄米多项式 ；求根 [中圈分类号] 0174．6；0241 [文献标识码] A [文章编号] 1009—1742(2008)02—0035—06 式(1)对次数≤2 —l的多项式精确成立，即为高斯 1 前言 积分公式 ，它的代数精度为 2 —l。在所有的 个 高斯数值积分是一种有效的高精度数值计算方 节点积分公式中，高斯积分有最高的代数精度。 法。在工程数值计算、固体物理学、光电子学等领域 可以证明，积分公式 (1)为高斯积分的充要条件 常用来对难以获得解析解的积分进行数值计算。例 是积分节点为正交多项式的根 J。不同的高斯积分 如，在工程 电磁场计算中常用的贝塞尔函数…，如果 公式如高斯一勒让德、高斯 一拉盖尔、高斯 一厄米、 采用其级数解来计算，需考虑很复杂的递推稳定性 高斯一切比雪夫积分的积分区间和正权重函数不 问题；反之，若从它的积分形式出发来计算，采用数 同3J。高斯一勒让德、高斯 一拉盖尔、高斯 一厄米、 个节点的高斯积分，即可获得满意的数值精度。在 高斯一切比雪夫的正权重函数和积分区间分别为 l x射线衍射中的线形分析和光谱学中，Vo 函数能 和 [一1，1]，e一和[0，∞)，e一和‘ (一∞，+∞)，(1一 较好地描述X射线衍射峰和光谱峰的线形 ，但该函 )尼和[一1，1]。 数没有解析的积分解；固体物理学中热容表达式中 很多文献可以查到高斯积分公式的节点 和 的德拜函数也无解析的积分解。用高斯数值积分则 权重因子 值4j。对于非振荡的被积函数，只需 可方便地计算这些积分。 要用数个节点来计算，便可获得 良好的积分精度，更 个节点数值积分可表示为 高的精度可用更高次的公式来获得。现能查到的高 rb 斯一勒让德、高斯一拉盖尔、高斯一厄米积分的最高 Il0()，()d wf() (1) = i 次节点和权重因子分别为96，l5和20¨]。 式中lD()是在积分区间(a，b)上的正权重函数， 为了获得更精确的积分值，需要有更高次的积 和 是与函数f()无关的节点