概率论与数理统计课件–10.ppt

第10章　 点估计 第1节　 点估计问题 在实际中常碰到的问题是所研究的总体分布类型已知, 但分布中含有一个或多个未知参数, 或者,总体的分布类型未知，但我们所关心的只是总体中的某些数字特征，例如： 又如： 并且在一定可靠度下使这个范围包含未知参数的真值。 参数空间 第2节　 点估计方法 一、矩估计 例1 设总体X服从(0,q)上的均匀分布, q未知. X1,…,Xn为X的样本, 试求参数q的矩估计. 例2 设总体X分布未知, X1,…,Xn为X的样本, 试求总体均值μ和方差σ2的矩估计. 例3 设总体X服从参数为λ的指数分布,λ0未知, X1,…,Xn为X的样本, 试求参数λ的矩估计. 例4 设总体X服从(θ1,q2)上的均匀分布, q1θ2未知, X1,…,Xn为X的样本, 试求参数q1,θ2的矩估计. 二、最大似然估计（极大似然估计）特点：只适用于总体的分布类型已知的统计模型。 1. 最大似然估计法的思想: 2. 求最大似然估计的一般方法求未知参数q的最大似然估计问题, 归结为求似然函数L(q)的最大值点的问题. 当似然函数关于未知参数可微时, 可利用微分学中求最大值的方法求之. 例5 设总体X服从参数为λ的指数分布,λ0未知. X1,…,Xn为X的样本, 试求参数λ的最大似然估计量. 例6 设x1,x2,…,xn是正态总体N(m,s2)的样本观察值, 其中m,s2是未知参数, 试求m和s2的最大似然估计值和最大似然估计量. 解得m和s2的最大似然估计值为 例7 设总体X服从(0,q)上的均匀分布, q未知. X1,…,Xn为X的样本, x1,…,xn为样本值. 试求q的最大似然估计. 欲使L(q)最大, q应尽量小但又不能太小, 它必须同时满足 q?xi, i=1,…,n,否则L(q)=0, 而0不可能是L(q)的最大值. 因此 第3节 点估计的优良性  同一参数可以有多种看来都为合理的估计，因此有一个优劣的比较问题，这就要建立优良性准则，为此我们介绍几个常用的评选标准: (1) 无偏性;  (2) 有效性;  (3) 相合性(一致性) 列出似然方程 最大似然估计量为 显然无法从L(q)=0得到最大似然估计. 我们考虑直接按最大似然估计的基本思想来确定. 解 似然函数为 是最大似然估计值和估计量. * * 通常把这些数字特征也称为参数，诸如此类问题都需要从总体中抽取样本，然后利用样本给出参数的估计。 参数估计：根据样本给出参数的估计。 :用一个数值来估计未知参数 :用一个范围(区间)来估计， 点估计的概念 注： 估计量是样本的函数，是一个统计量，而同一参数可以构造不同的统计量用以估计。 ：用样本矩替代同阶总体矩。 解： 列出方程 得 即 解： 列出方程 即 得 解： 列出方程 得 即 解： 列出方程 即 得 注： 矩估计法是一种简单方便、应用广泛的传统估计方法，实际应用时一般并不要求知道总体分布的具体形式，但必须假定与总体有关的各阶矩存在，而且矩估计法的精度一般较差。 引例 某同学与一位猎人一起去打猎, 一只野兔从前方窜过, 只听一声枪响, 野兔应声倒下, 试猜测是谁打中的? 在已经得到实验结果的情况下, 应该寻找使这个结果出现的可能性最大的那个q值作为q的估计. 注: 最大似然估计法首先由德国数学家高斯于1821年提出, 英国统计学家费歇于1922年重新发现并作了进一步的研究. 定义1 似然函数 定义2 最大似然估计 求解步骤： 解 指数分布的密度函数为 似然函数为 则L(λ)的最大值一定为xi0时 的最大值。 对数似然函数为 列出似然方程 得λ的最大似然估计为 故 为 λ的最大似然估计量。 解 正态分布的密度函数为 似然函数为 对数似然函数为 * * *