概率论和数理统计课件21.ppt

函数与极限 * 前面，我们讨论了参数的点估计. 它是用样本算的一个值去估计未知参数. 但是，点估计仅仅给出了未知参数的一个近似值，它没有反映出这种估计的精度.区间估计正好弥补了点估计的这个不足之处. 可信度：越大越好 估计你的年龄 八成在21－28岁之间 被估参数 可信度 范围、区间 区间：越小越好 引例 在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的最大似然估计为1000条. 实际上，N的真值可能大于1000条， 也可能小于1000条. 为此，我们希望确定一个区间 来估计参数真值 a 使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值. 湖中鱼数的真值 [ ] 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的 b 区间估计的精度要高. §7.4 正态总体的区间估计 设X1 ，X2,…，Xn为来自总体X?F(x;?)的一个样本，? ? ?是未知参数. 若对于给定的 ?（0 ? 1），存在两个统计量 使得对任意的? ? ? 满足 一 置信区间的定义 则称随机区间 为参数? 的置信水平(confidence level)为1-? 的置信区间(confidence interval). 置信水平又称为置信度，置信区间的左端点 又称为置信下界，置信区间的右端点 又称为置信上界. 1. 要求 以很大的可能被包含在区间 内，就是说，概率 要尽可能大. 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间 长度 尽可能短，或能体现该要求 的其它准则. 即要求估计尽量可靠. 可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下 尽可能提高精度. (1)从未知参数? 的某个点估计 出发，构造 与? 的一个函数W( ,? ) , 使得 W的分布已知，且不依赖于未知参数? 该函数通常称为枢轴量. 二 构造置信区间的方法 1. 枢轴量法 (3) 利用不等式运算，将不等式 (2) 适当选取两个常数a, b，使对给定的?，有 等价变形为 即 此时参数? 的置信水平为1-? 的置信区间为 2. 如何确定a , b 我们总是希望置信区间尽可能短. 任意两个数a和b，只要它们的纵标包含f(u)下95%的面积，就确定一个95%的置信区间. 在 概率密度为单峰且对称的情形，当a =-b时求得的置信区间的长度为最短. a =-b 即使 的概率密度不对称的情形，如 分布，F分布，习惯上仍取对称的百分位点来计算未知参数的置信区间. 三 正态总体均值与方差的区间估计 ~N(0, 1) 选 的点估计为 求参数 的置信水平为 的置信区间. 例1 设X1,…,Xn是取自 的样本， 解： 寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知. 有了分布，就可以求出 Z取值于任意区间的概率. 对给定的置信水平 对于给定的置信水平, 根据Z的分布， 确定一个区间, 使得Z取值于该区间的 概率为置信水平. 使 对给定的置信水平 使 从中解得 的一个置信水平为 的置信区间 置信区间的长度为 说明： (2)置信区间的中心是样本均值 (3)置信水平 越大， 越大，因此置信区间越长 (4)样本容量n越大，置信区间越短 置信区间的长度为 (1)L越小，置信区间提供的信息越精确 因方差未知，则 不是统计量. 想法：用样本均方差 S 代替σ. 于是取 对给定的置信水平 ,确定分位数 使 即 均值 的置信水平为 的置信区间. 即为 从中解得 例2 有一大批糖果.现从中随机的取16袋，称得重量(以克记)如下： 设每袋糖果的重量近似服从正态分布，试求总体均值 的置信水平为0.95的置信区间 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 解：这是单总体方差未知，总体均值 的区间估计问题. 根据给出的数据，算得 这里 均值 的置信水平为 的置信区间为 均值 的置信水平为0.95 的置信区间为 取枢轴量 从中解得 (2)方差 的置信水平为 的置信区间. 对给定的置信水平 ,确定分位数 使 方差 的置信水平为 的置信区间为 标准差 的置信水平为