概率论教学课件抽样分布.ppt

现假设X的概率密度为f(t),则有 由于n个样本的抽取是独立的，有概率的统计定义可知， fi近似等于随机变量X落入区间(ti,ti+1]的概率，即 则fi是样本值落入区间(ti,ti+1]的频数。 (2) 记 在上式中， fi(i=0,1,…m)是已知的，而 f(x)是未知，但它们之间有近似关系。怎样由fi去近似得出f(x)呢？为直观起见，我们借助于图形。 (3) 在平面上，画一排竖着的长方形：对每个i (0≤i ≤ m) ,以[ti,ti+1]为底，以 见图 o x y t1 ti ti+1 直方图 这个图的好处就在于，它大致地描述了X的概率分布情况，因为每个长方形的面积，刚好近似地代表了X取值落入“底边”的概率。 只要有了直方图，就可大致画出概率密度曲线： 让曲线大致经过每个竖着的长方形的“上边”。 上面介绍的直方图法对于连续型的随机变量才用得上，现在介绍一种方法，无论对连续型的或离散性的随机变量都可以用，这就是X的样本作出X的“经验分布函数”，它是分布函数的良好近似。 换句话说，对任何实数x，Fn(x)等于诸xi中不超过x的个数再除以n，从频率与概率的关系知道， Fn(x)可以作为未知分布函数的一个近似。n越大，近似得就越好. 证明 从而 又 所以 * 5.2 抽样分布 统计量作为样本的函数是一个随机变量，统计量的分布称为抽样分布。下面介绍几个来自正态总体的常用统计量的分布，它们也是在数理统计中应用最广的抽样分布 5.2.1. 统计量的三大分布 分布 1、 分布是由正态分布派生出来的一种分布. 记为 定义: 设 相互独立, 都服从标准正态分布N(0,1), 则称随机变量： 所服从的分布为自由度为 n 的 分布. 2.?2—分布的密度函数f(y)曲线 由 分布的定义，不难得到以下性质： 2. 设 且X1,X2相互 独立，则 这个性质叫 分布的可加性. 1.?? 设 , 则 3.?? 设 , 则当n充分大时 的分布近似标准正态分布N(0,1). 记为T～t(n). 定义: 设X～N(0,1) , Y～ , 且X与Y相互独立，则称变量 所服从的分布为自由度为 n的 t 分布. 2、t 分布 t(n)的概率密度为 当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形. 由定义可见， 3、F分布 若X~F(n1,n2)， X的概率密度为 例1 已知X～t(n),证明X2～F(1,n). 因为X～t(n), 所以存在Y1～N(0,1),Y2～χ2 (n),使得 证 由定义知 而 所以 例2 设总体X～N(0,1), X1, X2, …., Xn为简单随机样本,试问下列统计量个服从什么分布? 解 (1) (2) (3) 3. 分位数 设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),对于给定的?：0?1，称满足 的 为此分布的上?分位数,它的几何意义如下： 分位数的性质： 证明（3）:设F~F(n1,n2),则 得证! 例1 查表求下列分位数的值 解 5.2.2几个常见的抽样分布 (1)证明 (X1,X2,…,Xn)是n 个独立的正态随机变量 的线性组合,故服从正态分布, (4)证明: 且U与V独立,根据t分布的构造 得证! 定理5.2 证 (1) 因为 经标准化后即得结论. (2) 又由定理5.1(3) 且U与V相互独立,再由t分布的定义得 化简即得所得结果. 例2：设总体X~N(10,32), X1， … ，Xn是它的一个样本 (1)写出Z所服从的分布;(2)求P(Z11). 解 因为X~N(10,32), 设 又 从而 所以 例3：设X1， … ，X10是取自N（0，0.32)的样本,求 解 因为 所以 则 从而 查表得 所以 例4：设X1， … ，Xn是取自N（?,?2)的样本,求样本方差S2的期望。 解 结论:无论总体X服从什么分布,它的样本方差S2的期望就是它的方差.即 5.2.3 直方图 设X是一个随机变量，如何根据样本值x1,x2,…xn近似求出它的概率密度(或分布函数)呢？现在介绍一种近似求概率密度的图解法——直方图 (1)先把样本值x1,