摆动法测量转动惯量.doc

实验4　用复摆测量刚体的转动惯量 一、实验目的 1．学习掌握对长度和时间的较精确的测量； 2．掌握重力加速度的方法，并加深对刚体转动理论的理解； 3．学习用作图法处理、分析数据。 二、实验仪器 JD-2物理摆、光电计时器等 三、实验原理 1.单摆 如图4-1（单摆球的质量为m）当球的半径远小于摆长时，应用动量矩定理，在角坐标系可得小球自由摆动的微分方程为： (4-1) 式中t为时间，g为重力加速度，为摆长。 当（rad）很小时， (4-2) 则（4-1）式可简化为： （4-3） 令 (4-4) （4-3）式的解为： （4-5 ) 式中，由初值条件所决定。 周期 （4-6） 2．物理摆 一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆或物理摆。如图4-2，设物理摆的质心为C，质量为M，悬点为O，绕O点在铅直面内转动的转动惯量为，OC距离为，在重力作用下，由刚体绕定轴转动的转动定律可得微分方程为 (4-7) 令 （4-8） 仿单摆，在很小时，（4-7）式的解为： (4-9) (4-10) 设摆体沿过质心C的转动惯量为，由平行轴定理可知： (4-11) 将（4-11）代入（4-10）可得： （4-12） (4-12)式就是物理摆的自由摆动周期T和（4-13）式右端各参变量之间的关系。实验就是围绕（4-12）式而展开的。 因为对任何都有∝，因此（4-13）式的T与M无关，仅与M的分布相关。 令，称为回转半径， 则有 （4-13） ①一次法测重力加速度 由（4-12）式可得出 （4-14） 测出（4-14）右端各量即可得；摆动周期T，用数字计时器直接测出，M可用天平称出，C点可用杠杆平衡原理等办法求出，对于形状等规则的摆，可以计算出。 ②二次法测 一次法测虽然简明，但有很大的局限性，特别是对于不规则物理摆，就难以确定，为此采用如下“二次法”测： 当M及其分布（C点）确定以后，改变h值，作两次测T的实验，运用（4-13）式于是有 即 (4-15) (4-16) 联立解（4-15）、（4-16）式，可得出 （4-17） 这样就消去了，所以（4-17）测就有着广泛的适用性。从（4-17）式，更可十分明确地看到T与M的无关性。 虽然，任意两组（,），（,）实测值，都可以由（4-17）式算出；但是，对于一个确定的“物理摆”选取怎样的两组（,）数据，使能得出最精确的的实测结果呢？为此必须研究（）关系： 将（4-12）式平方，于是可得出 （4-18） 从此式可以看出T2与h的关系大体为一变形的双曲线型图线：当h趋于0时T→∞，当h→∞，T亦趋于∞；可见在h的某一处一定有一个凹形极小值。为此，对（4-18）作一次求导并令其为0；即由可得 （4-19） （4-20） 即移动摆轴所增加的转动惯量恰为质心处的转动惯量，即h = a处所相应的T为极小值（为什么？）。 （注意：体会称a为回转半径的含义） 将（4-13）式取二次导数 为研究T（h） （4-22） （4-22）与（4-17）的等同性同学们在课后去用代数关系式验证。从（4-22）可知，当T1 = T2（=T）时，即化为单摆形式的公式（4-6），故称（hE+hF）、（hC+hD）为等值单摆长。 从（4-20）式可知：==；而aX2 = hE+ h1 从图4-3可知，A，B二共轭点为T（h）的极小值点，若在它附近取二个h值来计算则将引