相似三角形经典难题 相似三角形难题.doc

相似三角形经典难题 相似三角形难题 7、（2008年江苏省南通市）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，DAB＝ACB＝90°，过点D作DEAC，垂足为F，DE与AB相交于点E. （1）求证：AB·AF＝CB·CD （2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射线DE上的动点.设D… 相似三角形 一、构造相似辅助线——双垂直模型 1.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式． 2.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△… 1．如图2，在□ABCD中，E是BC的中点，且 AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是 （ ） ．．． A、S△AFD=2S△EFB B、 C、四边形AECD是等腰梯形 D、AEB=∠ADC 2．、Rt△ABC的两条直角边分别为3 cm、4 c… 7、（2008年江苏省南通市）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，DAB＝ACB＝90°，过点D作DEAC，垂足为F，DE与AB相交于点E. （1）求证：AB·AF＝CB·CD （2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射线DE上的动点.设DP＝xcm（x＞0），四边形BCDP 2 的面积为ycm. 求y关于x的函数关系式； 当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值. （1）由AD=CD，ACDF， DF是AC的垂直平分线，即AF=FC 又△ABC中，ACB=90°，△ADE中，DAE=90°， CAB+∠DAC=90°，DAC=∠DCA，并且 DCA+∠CDF=90°， CAB=∠CDF，ABC∽△DFC，AB：CD=BC：CF AB：CD=BC：CF=BC：AF，即AB*AF=CD*CB （2）因为DE‖BC，四边形BCDP是平行四边形。 AC＝√（152－92）＝12，CF＝12×1/2＝6，Y＝1/2*（9＋x）×6＝3x＋27 AD=DC，PAC为等腰三角形， PC=PAS△PBC=PC+PB++BC=PA+PB+BCBC固定为9，当P点与E点重合时，PA+PB最小，为一条直线即AB x=DE △AEF∽△ADE AF=6，AE=7.5 EF=4.5 ∴DE/AE=AE/EF推出DE=12.5x=12.5cm 此时y=3（9+x）=64.5cm2 8、(2008 湖南 怀化)如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相 交于点M，CG与AD相交于点N． 求证：（1）AE?CG； （2）AN?DN?CN?MN. 1、四边形ABCD，DEFG都是正方形 CD=AD ；DG=DE ADC=∠GDE=Rt∠ ∵∠ADG为公用角 ﹙ADC﹢ADG=∠ADE﹚=﹙GDE﹢ADG=∠CDG﹚ ADE≌⊿CDG ∴AE=CG 2、ADE≌⊿CDG ∴∠NCD=∠NAM ∵∠MNA=∠DNC﹙对顶角相等﹚ 三角形的内角和是180° AMN=∠CDN=Rt∠ ∴⊿AMN∽⊿CDN ∴AN∶CN=MN∶DN﹙相似比相等﹚ AN·DN=CN·MN 10、(2008 湖北 恩施) 如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG 摆放在一起，A为公共顶点，BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若?ABC固定不动，?AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n. （1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. （2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围. （3）以?ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面 直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验 证BD＋CE=DE. （4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若 不成立,请说明理由. 2 2 2 2 2 2 12、（08山东省日照市）在△ABC中，A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MNBC交AC于点N．以MN为直径作O，并在O内作内接矩形AMPN．令AM＝x． （1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； （2）当x为何值时，O与直线BC相切？ （3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ 过M点作MQBC 于Q，则 在Rt△BMQ与Rt△BCA中，B是公共角， BMQ∽△BCA， ， ， ，， x=，