利用对称方法求解非线性偏微分方程组边值问题的数值解.pdf

应 用 数 学 MATHEMATICA APPLICATA 2014，27(4)：708-713 利用对称方法求解非线性 偏微分方程组边值 问题的数值解 苏道毕力格，王晓民，鲍春玲 (内蒙古工业大学理学院，内蒙古 呼和浩特 010051) 摘要：本文研究微分方程对称方法在非线性偏微分方程组边值 问题 中的应用．首先 ， 利用昊一微分特征列集算法确定给定非线性偏微分方程组边值 问题 的多参数对称；其 次，利用对称将非线性偏微分方程组边值 问题约化为常微分方程组初值 问题 ；最后 ， 利用龙格一库塔法求解常微分方程组初值 问题的数值解． 关键词：非线性偏微分方程组边值问题；吴一微分特征列集算法；对称方法；龙格一库塔 法 。 中图分类号 ：0175．29 AMS(2000)主题分类 ：35A3O；58J7o；58J72；35G30 文献标识码 ：A 文章编号 ：ioo1—9847(2O14)04—0708-06 1．引言 十九世纪末，由挪威数学家 SophusLie(1842—1899)提 出的(偏)微分方程 (组)(PDEs)对 称理论和方法的研究在现代数学、物理和力学等学科中有重要的理论和实际意义，并且已有了 广泛的应用n]．但是除了在文[2—4]中研究者做了一些对称群在边值 问题上的应用研究以外， 这方面的研究还很少，所以利用对称群研究PDEs边值 问题是对称理论应用的新研究领域．最 近我们基于吴一微分特征列集算法[5]研究了对称方法在非线性 PDEs边值问题 中的应用 6【]，并 且将对称方法和同伦分析方法进行结合解决了边值问题L7]．也有研究者基于吴一微分特征列集 算法，将对称方法与变分迭代法和同伦摄动法结合，求解了PDEs边值问题[8 ． 诸多研究者解决非线性问题时，常常与相似变换进行结合 ，对非线性 PDEs进行约化或降 阶，再应用近似解法或数值解法对约化后的方程进行求解．更一般地 ，对称群技术可以提供一 种获得相似变换的方法，并且这些变换有更多的数学和物理意义，所以可利用给定PDEs的对 称获得这些变换．事实上 ，给定 PDEs的Lie变换群能产生更一般形式 的相似变换，可用于约 化 PDEs． 本文中，我们基于吴一微分特征列集算法 ，将对称方法应用于非线性 PDEs边值 问题 ，将其 约化为常微分方程组(ODEs)初值问题，再求解初值问题的数值解．这也是基于吴一微分特征列 * 收稿 日期 ：2013—09—23 基金项 目：国家 自然科 学基 金项 目，内蒙古 自治 区高等学校 科学技术 研 究项 目 (NJZY12056)，内蒙古 自治区自然科学基金(2014MS0114) 作者简介：苏道毕力格，男，蒙古族，内蒙古人，副教授，研究方向：偏微分方程． 第 4期 苏道毕力格等：利用对称方法求解非线性偏微分方程组边值 问题的数值解 709其 中 集算法，有效结合对称方法与数值方法求解边值 问题的新探索． 2．基本公式和计算步骤 考虑具有 N(N 1)个 (≥2)阶偏微分方程组成的边值 问题 P (z，U，8u，a ，… ，8ku)一 0， ===l，2，… ，N ， (1) 其中z一 (z ，z。，…，z)是 个 自变量 ，一 (“，。，…， )是 个 因变量 ，且可以写为以下 可解形式 + F (z，，8u，a ，…，a )一 ,i2，…,iI～户 (z，，8u，a ，… ，8ku)一 o， (2) 艘