①不等式的一个母题.doc
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Y.P.M数学竞赛讲座 1
不等式的一个母题
本文给出三元代数不等式与三角形的三角不等式的联系与互换,试图给出三元代数不等式的母题及其证明思路.
Ⅰ.预备知识:
1.三角形中的等式:
[例1]:在△ABC中,求证:⑴tantan+tantan+tantan=1;⑵cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1;
⑶tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;
[解析]:
[例2]:在△ABC中,求证:⑴sinA+sinB+sinC=4coscoscos;⑵cosA+cosB+cosC=1+4sinsinsin;⑶sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC;⑷cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC;⑸cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC
=1.
[解析]:
2.琴生不等式:
1.凸凹函数的定义:⑴若x1,x2∈D,不等式≤f()恒成立,等号当且仅当x1=x2时成立.则称f(x)是D内的凸函数;⑵若x1,x2∈D,不等式≥f()恒成立,等号当且仅当x1=x2时成立.则称f(x)是D内的凹函数;
2.凸凹函数的性质(琴生不等式):⑴若f(x)是凸函数,则:≤f(),等号当且仅当x1=x2=…=xn时成立;⑵若f(x)是凹函数,则:≥f(),等号当且仅当x1=x2=…=xn时成立.
3.凸凹函数的判定:⑴f(x)是D内的凸函数x∈D,(x)≤0恒成立;⑵f(x)是D内的凹函数x∈D,(x)≥0恒成立;
3.三角形中的不等式:
1.琴生不等式法
[例1]:在△ABC中,求证:cot+cot+cot≥3;
[解析]:
练习:
1.在△ABC中,sinA+sinB+sinC≤;cosA+cosB+cosC≤;sin+sin+sin≤;cos+cos+cos≤;
2.在△ABC中,tan+tan+tan≥;
3.在锐角△ABC中,cotA+cotB+cotC≥;
2.基本不等式法
[例2]:在△ABC中,求证:0sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA≤.
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[解析]:
练习:
1.在锐角△ABC中,tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC≥3;
2.在△ABC中,tan2+tan2+tan2≥1.
3.在△ABC中,sinAsinBsinC≤;cosAcosBcosC≤;sinsinsin≤;coscoscos≤;
tantantan≤;
3.恒等变换法
[例3]:在△ABC中,求证:cosA+cosB+cosC1.
[解析]:
练习:
1.在△ABC中,≤sin2+sin2+sin21;2cos2+cos2+cos2≤;
2.在△ABC中,0sin2A+sin2B+sin2C≤;≤cos2A+cos2B+cos2C3;
3.在△ABC中,sin2A+sin2B+sin2C≤.
4.内角变换法
[例4]:在△ABC中,求证:sin+sin+sin1.
[解析]:
练习:
1.在△ABC中,cos+coscos.
2.在锐角△ABC中,cos+cos+cos1+sin+sin+sin.
3.在锐角△ABC中,cos+cos+cos2.
5.边角转换法
[例5]:在△ABC中,求证:sinA+sinB+sinC≥4sinAsinBsinC.
[解析]:
练习:
1.在△ABC中,求证:sinC≥sinAcosA+sinBcosB.
2.在△ABC中,求证:sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA≥2sinAsinBsinC.
3.在△ABC中,求证:++≥4.
6.代数转换法
[例6]:在△ABC中,求证:++≥.
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[解析]:
练习:
1.在△ABC中,++≥2.
2.在△ABC中,求证:++≤1.
3.在△ABC中,++≥2.
Ⅱ.母题应用:
1.x+y+z=1.
[例1]:(2005年法国数学奥林匹克试题)设x,y,z都是正实数,且x+y+z=1,求证:++≤.
[解析]:
[例2]:(2008年加拿大数学奥林匹克试题)已知三个正数a,b,c满足:a+b+c=1,求
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