上海市十校2011届高三下学期第二次联考(数学理) 含答案.doc

上海市十校 2010—2011学年度第二学期高三第二次联考 数学（理）试题 一、填空题（每小题4分,共56分） 1．函数的定义域是___ ． 2．设，若，则实数= ． 3．设，，则实数 ． 4．若，且（为虚数单位），则 ． 5．已知是公差不为零的等差数列，如果是的前n项和，那么 ． 6．在极坐标系中，为极点，已知，则的面积为 ． 7．已知复数（），当此复数的模为1时，代数式的取值范围是 ． 8．若三个数的方差为1，则的方差为 ． 9．已知函数有三个不同零点，则实数的取值范围为 ． 10．已知， 若，则自然数 ． 11．已知奇函数在为减函数，且，则不等式的解集为 ． 12．记矩阵A=中的第i行第j列上的元素为．现对矩阵A中的元素按如下算法所示的方法作变动，直到不能变动为止：若，则，否则不改变，这样得到矩阵 B．再对矩阵B中的元素按如下算法所示的方法作变动：若，则，否则不改变，这样得到矩阵C，则C= ． 13．平面上三条直线，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数的取值集合为 ． 14．洛萨科拉茨（Lothar Collatz,1910．7．6-1990．9．26）是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为6，按照上述变换规则，我们得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．对科拉茨（Lothar Collatz）猜想，目前谁也不能证明，更不能否定．现在请你研究：如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则的所有可能的取值为 ． 二选择题（每小题5分,共20分） 15．设均不为0，则“”是“关于的不等式与的解集相同”（ ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 16．已知为的一个内角，且，若，则关于的形状的判断，正确的是（ ） A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．三种形状都有可能 17．在棱长为1的正四面体中，记，则不同取值的个数为（ ） A．6 B．5 C．3 D．2 18．若，且，则称A是“伙伴关系集合”．在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为（） A． B． C． D． 三解答题（12分+12分+14分+18分+18分=74分） 19．（本题满分12分）如图，已知圆锥的底面半径为，点Q为半圆弧的中点，点P为母线的中点．若与所成角为，求此圆锥的全面积与体积． 20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分6分 如图，折线段是长方形休闲区域ABCD内规划的一条小路，已知百米， （）百米，点在以A为圆心，AB为半径的圆弧上，，Q为垂足． （1）试问点在圆弧何处，能使该小路的路程最短？最短路程为多少？ （2）当时，过点P作，垂足为M．若将矩形修建为观赏水池，试问点在圆弧何处，能使水池的面积最大？ 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分 已知集合是满足下列性质的所有函数组成的集合：对于函数，定义域内的任意两个不同自变量，均有成立． （1）判断函数是否属于集合？说明理由； （2）若在上属于，求实数的取值范围． 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第一个小题满分4分，第2个小题满分6分, 第3个小题满分8分．定义： （1）解关于的不等式； （2）记，设，若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）记，正项数列满足：，求数列的通项公式，并求所有可能的乘积的和． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第一个小题满分4分，第2个小题满分6分, 第3个小题满分8分．已知曲线，直线，为坐标原点． （1）讨论曲线所表示的轨迹形状； （2）当时，直线与曲线C相交于两点，试问在曲线上是否存在点，使得？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）若直线与x轴的交点为，当时，是否存在这样的以为直角顶点的内接于曲线的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个？若不存在，请说明理由．