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第三章 离散小波变换 3.1 尺度与位移的离散化方法 减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数的限定在一些离散点上取值。 1. 尺度离散化：一种最通常的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化，即取（为整数，，一般取）。如果采用对数坐标，则尺度的离散取值如图3.1所示。 图3.1 尺度与位移离散方法 2. 位移的离散化：当时，。 （1）通常对进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。 （2）要求采样间隔满足采样定理，即采样频率大于该尺度下频率通带的2倍。 3. =？ 当增加1时，尺度增加一倍，对应的频带减小一半（见图2.2），可见采样频率可以降低一半，即采样间隔可以增大一倍。因此，如果尺度时的间隔为，则在尺度为时，间隔可取。此时可表示为 为简化起见，往往把轴用归一化，这样上式就变为 （3.1） 4. 任意函数的离散小波变换为 （3.2） DWT与CWT不同，在尺度—位移相平面上，它对应一些如图3.1所示的离散的点，因此称之为离散小波变换。将小波变换的连续相平面离散化，显然引出两个问题： （1）离散小波变换是否完全表征函数的全部信息，或者说，能否从函数的离散小波变换系数重建原函数。 （2）是否任意函数都可以表示为以为基本单元的加权和？如果可以，系数如何求？ 上述两个问题可以归结为一个。假设条件（1）满足，可合理的选择，并对进行适当的离散（即适当的选择），那么一定存在与小波序列对应的序列，使得问题（1）的重建简单地表示为 （3.3） 称为的对偶，它可以由一个基本小波通过位移和伸缩取得： 由上式，若存在，则有 = = = 也即 故问题（2）也成立，其中 由于问题（1）和问题（2）是统一的，我们首先来看问题（1），该问题的数学语言描述如下： 若小波系数表征的全部信息，则应有 当时， 或当时， =0； 当和很接近时， 和也必然很接近。用范数的概念来描述，即当为一个很小的数时，也必然为一个很小的数，用数学公式来描述： ， 也即 （3.4a） 若要小波系数稳定的重建，则必须有： 当序列 和很接近时，函数和也很接近，即 （3.4b） 把（3.4a）和（3.4b）合到一起。我们便得到一个合理的离散小波变换，该小波变换对所有必须满足下述条件： （3.4c） 满足式（3.4c）的离散函数序列在数学上称为“框架”。 3.2 小波框架与离散小波变换的逆变换 3.2.1 小波框架 （1）小波框架的定义 当由基本小波经伸缩和位移引出的函数族 ； （3.5） 具有下述性质时： （3.6） 便称构成了一个小波框架，称上式为小波框架条件，其频域表示为 （3.7） （2）小波框架的性质 1）满足小波框架条件的，其基本小波必定满足容许性条件。 但是并不是满足容许性条件的小波，在任意离散间隔及尺度基数下都满足小波框架的条件。 2）小波函数的对偶函数也构成一个框架，其框架的上、下界是框架上、下界的倒数： （3.8） 3）离散小波变换具有非伸缩和时移共变性。 4）离散小波变换仍然具有冗余度。 3.2.2 离散小波变换的逆变换与重建核问题 1. 离散小波变换的逆变换 如离散小波序列，构成一个框架，其上、下界分别为和，则当时（紧框架），由框架概念可知离散小波变换的逆变换为 （3.9） 当，而，比较接近时，作为一阶逼近，可取 （3.10） 则重建公式近似为 （3.11） 逼近误差的范数为 由上式可见，与愈接近，逼近误差就愈小。 为了保证能构成一个重建误差较小的框架就必须对基本小波在轴上的采样间隔提出更高要求：不一定等于2，也不一定等于1，以便于使和接近于相等，可以想像，当尺度间隔愈密，位移间隔愈小。离散栅格愈接近于覆盖整个半平面，就愈接近于1. 关于与，以及间的关系的部分结论如下： 如是一个框架，则框架的上界、下界满足下面的不等式： （3.12） 特别对紧框架有： （3.13） 举例：将Marr小波离散化为小波框架。 Marr小波是常用的一种连续小波形式。若将Marr小波的尺度及位移分别离散化为 则可证明，构成了一个空间的小波框架，其框架的