习题解答(第7章).doc

7（A） 三、解答题 1. 设总体服从几何分布，分布律为，()求的矩估计量． 解：因为，所以X的一阶矩 用样本的一阶A1=代替总体X的一阶矩E(X)得到 所以的矩估计量为 2. 求均匀分布中参数的矩估计量． 解：设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，总体X的一阶、二阶矩分别为 (2 = E(X 2) = D(X) + [E(X)] 2= 用样本的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩(1和(2，得到 解得的矩估计量为 3. 设总体的概率密度为 ， 是来自的简单随机样本，求参数的矩估计量． 解：总体X的一阶为 用样本的一阶A1=代替总体X的一阶矩E(X)得到 4. 设总体的概率密度为，其中是未知参数，是来自的简单随机样本，求和的矩估计量． 解：总体X的一阶为 总体X的二阶为 用样本的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩(1和(2，得到 解得和的矩估计量为 ， . 5. 设，m已知，未知，是来自的简单随机样本，求的最大似然估计量． 解：由于X的分布律为 基于样本观测值x1，x2，…，xn的似然函数为 解得 的最大似然估计值为 的最大似然估计量为 6. 设总体的概率密度为，今从X中抽取10个个体，得数据如下: 1050 1100 1080 1200 1300 1250 1340 1060 1150 1150 试用最大似然估计法估计． 解：设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，基于样本观测值x1，x2，…，xn的似然函数为 当时，，令 ， 解得 ． 考虑到 所以，θ的最大似然估计值为 将数据代入计算，θ的最大似然估计量为0.000858 7. 设某电子元件的使用寿命的概率密度为 为未知参数，是的一组样本观测值，求的最大似然估计值． 解：设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，基于样本观测值x1，x2，…，xn的似然函数为 容易看出θ越大L(()越大，在约束下， 即为θ最大似然估计值。 8. 设是取自总体N((，1)的一个样本，试证下面三个估计量均为(的无偏估计量，并确定最有效的一个． ，， 证明：因为独立均服从N((，1)，且 . 所以，，均为(的无偏估计量。又因为 所以最有效。 9. 设总体X的数学期望为，是来自的简单随机样本．是任意常数,证明是( 的无偏估计量． 证明：因为Xi的数学期望均为，所以 故是( 的无偏估计量． 10. 设总体是来自X的一个样本． (1) 试确定常数c，使为( 2的无偏估计; (2) 试确定常数c，使为( 2的无偏估计． 解：（1）因为 所以当时，为( 2的无偏估计。 （2）因为 所以当时，为( 2的无偏估计。 11. 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为 6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0 设干燥时间总体服从N(( ，( 2)；在下面两种情况下，求( 的置信水平为0.95的置信区间． (1) 由以往的经验知( = 0.6 (小时); (2) ( 未知． 解：（1）由于( = 0.6，求( 的置信区间由公式计算， 其中n=9，(=0.05，1.96，，代入计算得( 的置信水平为0.95的置信区间为（5.608，6.392）. （2）由于( 未知，求( 的置信区间由公式计算， 其中n=9，(=0.05，=2.306，，， 代入计算得( 的置信水平为0.95的置信区间为（5.558，6.442） 12. 某机器生产圆筒状的金属品，抽出9个样品，测得其直径分别为1.01，0.97，1.03，1.04，0.99，0.98，0.99，1.01，1.03公分，求此机器所生产的产品，平均直径的置信水平为99%的置信区间．假设产品直径近似服从正态分布． 解：设X~N(( , (2),由于(2未知，( 的置信区间为， 其中n=9，(=0.01，，， ， 代入计算得( 的置信水平为99%的置信区间为（0.978，1.033）. 13. 某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9只进行寿命测试，取得数据如下（单位：小时）：1050，1100，1080，1120，1250，1040，1130，1300，1200．设灯泡寿命服从正态分布，试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信水平为95%的置信区间． 解：设X~N((,(2),由于(未知，( 的置信区间为 ， 其中n=9，(=0.05，=2.306，， 代入计算得( 的置信水平为95%的置信区间为（1071.78，1210.45）. 14. 假设某种