H-F定理及其推广与应用.doc

H-F定理及其推广与应用 林启民 （山西大同大学物理与电子科学学院，山西大同，037009） 本文论述了量子力学中的定理的内容和应用,重点阐述了H—F定理在一些问题中的应用，如求解能级问题力学量的平均值问题。并在此基础上对H—F定理加以推广，得出它的推广式，而且进一步讨论推广式的应用量子力学；HellmannFeynman定理；平均值；能级；一维谐振子 1 1H—F定理及其应用 1 1.1H—F定理的导出 1 1.2H—F定理的应用 2 2H—F定理的不含时推广及应用 7 2.1不含时推广式的导出 7 2.2不含时推广式应用 8 3H—F定理的含时推广及应用探讨 10 4小结 14 参考文献 15 引言 Hellmann—Feynman定理(简称定理)发表在20世纪30年代末，它的应用相当广泛，既可以用来作理论分析，又可以用来计算力学量的平均值。量子力学中有许多复杂的问题，利用定理去求解比直接用量子力学公式去求解要简单方便得多。本文将首先介绍定理，并讨论它在一些具体问题中的应用，然后在它的基础上加以推广，得出它的推广式，并加以具体应用。关于物理体系的能量本征态（束缚态），有许多定理，其中最重要、应用最广泛的大概就是HellmannFeynman定理和维里定理了。定理发表于20世纪30年代后期，最初用来讨论量子化学问题的，因此在量子力学教科书中很少提到它。其实这个定理应用极广。 设某量子体系的束缚态能级和归一化波函数为，(为量子数或编号数)，它们是定态薛定鄂方程的解，即满足方程 1) 设为哈密顿算符含有的任何一个参数(如普朗克常数，粒子质量，势能中表征作用强度的参数，等等。)视为参变量，则，均为的函数。(1)式对求导，得到 2) 以左乘上式，既得： 3) (3)式就是HellmannFeynman定理，通常称为定理，符号表示态下的平均值. （1）证明维里定理 体系的哈密顿算符可以表示成动能加势能 (4) (4)式中是经典势能，与无关。如视为参变量，根据定理，就有 另一方面，如对坐标作尺度变换(这对能级没有影响)，以作为坐标变量，则哈密顿算符可以写成 (6) 这时 (7) 的本征值仍为，则定理给出 (8) 比较(5)，(8)两式，即得维里定理 (9) 由于从定理可导出维里定理，因此，凡可以用维里定理处理的问题，肯定都可以用定理来处理。定理远在维里定理之上。某些时候，二定理联合应用，可使问题变得更为简单。用定理来求一些束缚态的能级、能级间的关系等很方便，下面介绍。 1 将电荷为的一维谐振子放在均匀的电场中，求各个束缚态的能级。 体系的算符为： 通过计算得到 ， 又 ，可得 而 由定理 所以 时， 故得： 2 粒子(质量为)作一维运动，哈密顿量为 时，已知能级为，…。如哈密顿量为 (为实数) 求能级。 视为参变量，则，按照定理，应有 (10) 另外，利用基本对易关系式，易得 在的本征态下，求上式的平均值，应有 所以 代入()式，即得 积分，即得 用定理，由于不用对能量本征函数作具体计算，解决间题往往比较简单易行，对于较复杂的能量本征函数(诸如类氢原子、谐振子)尤是如此。 1 一维谐振子的总能量算符为 它的能级可以用各种方法求出，为 … 能量本征函数的形式多少有些复杂。但是利用定理，很容易求出动能和势能的定态平均值，而用不着的具体函数形式。 能量算符中含有三个参数，其中任何一个均可取作定理的参数。例如取， 按照定理(3)式就有 所以 (11) 如取，则有 利用定理即得 因此， (12) 如取，则有 由于，故由定理可得 这和(11)、(12)是一致的。 2 一维谐振子、的求法 一维谐振子的算符为: 能级为： 取，利用定理可得 ∴ 同理，取利用定理可求得 。 3 氢原子问题中、、的求法 电子(质量，电荷)在原子核(电荷)的库仑场中就构成了氢原子问题(也称类氢离子问题)，若略去原子核运动，则体系的为: 能量为： ，，其中为半径。 用定理求力学量的平均值时，关键在于参变量的选取.参变量选取后，应使，(为常数)，以便从中得出。为此，选取参变量时，应选取项中含有，而其他项中不含有的参变量，且参变量可以是常量也可以是变量。 求：中有项，且和中均不含和。故参变量可选为或。以为参变量： 定理 同理中含有，且和中不含，视为参变量， 而求时，从的表达式来看，无论视哪个常数为参变量，均得不出，但证明定理时，参量并没有限定一定为常数。可取变量，若我们选取，那么就有： 由定理得 由HellmannFeynman定理可求出许多力学量的平均值然而，定理的应用也有一定的局限性，特别是关于能量的计算，只有哈密顿量满足一定的条件方可求出。为了扩大其应用范围,就需要