Heine定理及其应用.docx

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目 录

引言 1

文献综述 1

国外研究现状 1

国内研究现状 1

国内外研究现状评价 2

提出的问题 2

Heine定理及其不同结论 2

Heine定理的证明 2

Heine定理的推广 4

Heine定理的应用 6

判断、证明函数极限的存在性 6

利用Heine定理求极限 8

求函数极限 8

求数列极限 8

证明函数极限的性质 9

判断函数在某点的可导性 11

判断级数敛散性 12

对函数f?x?的局部利用海涅定理，求函数f?x?的极限 13

根据函数的特性，应用海涅定理分析解决其他问题 14

5 总结 16

5.1 主要发现 16

5.2 启示 17

局限性 17

努力方向 17

参考文献 18

Heine定理及其应用

摘要

Heine定理又称为归结原理，是工科数学分析和高等数学中判断数列极限和函数极限存在的一种有效的重要方法。它是分析学中的重点和难点，在极限理论中发挥了重要的作用。国内外有关Heine定理的若干问题的探讨和应用研究非常多，涉及范围很广，说明了其重要性和应用的广泛性。国外对Heine定理的研究主要是解决函数和数列极限存在性问题中的应用，在教学上探讨理论应用涉及甚少，而国内在其理论方面的研究甚为广泛，但Heine定理的定义及应用仍有值得研究的问题。比如：Heine定理通常用于极限的存在性问题，而其用途不仅仅限于此，但由于Heine定理的充分较强，使得Heine定理在应用中存在着一定的局限性，是否能够将Heine定理的充分性条件进一步弱化，使得在用Heine定理处理极限理论问题时更加实用方便，以及在判断级数敛散性、证明函数性质定理、函数求导问题中的应用，这就是文章探讨的问题所在，这样的研究在国内外相对较少。基于已有的Heine定理若干定义，该文在前人研究的基础上，结合数学分析中的相关定义及性质，分析了Heine定理的内涵及其推论和相应的证明，分别给出了不同形式的Heine定理，并对Heine定理做出了相应的推广，并利用Heine定理和数列极限的性质，探讨函数极限的相关性质，以及判断函数极限是否存在，给出了详细的实例，通过实例分析Heine定理在优化极限判断及运算和其他方面的应用，体现了Heine定理在判断数列和函数极限存在及研究函数性质问题、级数敛散性判断问题中的优越性和实用性。

关键词：Heine定理；数列；函数；极限；推广；应用

Heinetheoremanditsapplication

Abstract：Heinetheoremisalsoknownastheresolutionprinciple,istheanalysisofEngineeringMathematicsandhighermathematicsinthejudgementofsequencelimitsandfunctionlimitthereisakindofeffectivemethod.Itistheanalysisofkeypointandthedifficulty,inthelimittheoryplayedanimportantrolein.DomesticandforeignrelatedHeinetheoremonthestudyandapplicationofverymuch,involverangeisverywide,illustratesitsimportanceandwideapplication.OnHeinetheoremresearchmainlysolvestheproblemoftheexistenceofthelimitofasequenceoffunctionandapplicationintheteachingoftheoryandapplication,veryinvolved,andinthedomestictheoreticalresearchisverywidely,buttheHeinetheoremandapplicationstillhasaproblemworthyofstudy.Forexample:Heinetheoremisusuallyusedtolimitexistenceproblem,butitsus