《高等数学》初等函数.doc

PAGE 42 PAGE 41 初等函数 一、基本内容 1. 基本初等函数 (1) 幂函数：幂函数（是任意实数）。 （2）指数函数：（为常数，且，）。 （3）对数函数：（为常数，且，）。 （4）三角函数： 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数 （5）反三角函数： 反正弦函数，是正弦函数在区间上的反函数。 反余弦函数，是余弦函数在区间上的反函数。 反正切函数，是正切函数在区间上的反函数。 反余切函数，是余切函数在区间上的反函数。 2. 复合函数： （1）定义：设函数的定义域为，函数的值域为，若，则在内通过变量确定了一个是的函数，记作，该函数称为的复合函数。其中称为自变量，称为因变量，称为中间变量。 （2）复合函数的分解原则：把一个复合函数分解成基本初等函数或基本初等函数的四则运算。 3. 初等函数：常数和基本初等函数经过有限次的四则运算与复合所构成的，并可用一个式子表示的函数。 *4. 双曲函数： 双曲正弦函数 ， 双曲余弦函数 ， 双曲正切函数 ， 双曲余切函数 ， 二、学习要求 1. 掌握基本初等函数解析式、图像及常用公式； 2. 理解复合函数的概念，掌握复合函数的分解； 3. 理解初等函数的概念。 三、基本题型及解题方法 题型1 求复合函数 解题方法：首先验证的值域与的定义域的交集是否非空，若非空则能复合，将代入即可；若为空集则不能复合。 【例1】 下列函数能否复合为函数, 若能, 写出其解析式、定义域、值域： （1），； （2），； 解：（1）因为的定义域为，的值域为，即，故能复合， 复合函数为 ，，。 （2）因为的定义域为，的值域为，即，故不能复合。 题型2 复合函数的分解 解题方法：可按照“从外到里”的脱衣原则，逐次分解，直到不能再分。 一般地，能不能再分可看最后是不是基本初等函数或其四则运算，若是则不能再分，若不是，还需继续研究。 【例2】 分析函数 的复合结构。 解：该函数是由函数，，，，复合而成的。 四、同步练习 （一）判断题： 1．分段函数都不是初等函数。 2．复合函数的定义域与函数的定义域一定相同。 （二）填空题： 1．设，，则 ，= 。 2．将函数，，表示成的函数： 。 3．将函数，，表示成的函数： 。 4．基本初等函数中，在其定义域内单调有界的函数有 。 5．函数是由 复合而成。 6．指出函数的复合过程： 。 7．指出函数的复合过程： 。 8．指出函数的复合过程： 。 （三）选择题： 1．下列各组函数能构成复合函数的是（ ） A．与； B．与； C．与； D．与 2．函数的复合过程是（ ） A．，，； B．， ； C．，； D．，，