2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-2)练习34反证法].doc

第三章　　 一、选择题 1．(2014·微山一中高二期中)用反证法证明命题“如果ab0，那么a2b2”时，假设的内容应是(　　) A．a2＝b2　　　　　　 B．a2b2 C．a2≤b2 D．a2b2，且a2＝b2 [答案]　C 2．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于(　　) A．0　　　 B．　　　 C．　　　 D．1 [答案]　B [解析]　三个数a、b、c的和为1，其平均数为，故三个数中至少有一个大于或等于.假设a、b、c都小于，则a＋b＋c1，与已知矛盾． 3．(2013·浙江余姚中学高二期中)用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是(　　) A．假设a、b、c都是偶数 B．假设a、b、c都不是偶数 C．假设a、b、c至多有一个偶数 D．假设a、b、c至多有两个是偶数 [答案]　B [解析]　“至少有一个”的对立面是“一个都没有”． 4．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则(　　) A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面 [答案]　B [解析]　对于A，若存在直线n，使nl且nm，则有lm，与l，m异面矛盾； 对于C，过点P与l，m都相交的直线不一定存在，反例如图(lα)；对于D，过点P与l，m都异面的直线不唯一． 5．若m、nN*，则“ab”是“am＋n＋bm＋nanbm＋ambn”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案]　D [解析]　am＋n＋bm＋n－anbm－ambn＝an(am－bm)＋bn(bm－am)＝(am－bm)(an－bn)0或，不难看出ab/ am＋n＋bm＋nambn＋anbm，am＋n＋bm＋nambn＋bman/ ab. 6．若ab0，则下列不等式中总成立的是(　　) A．a＋b＋ B． C．a＋b＋ D． [答案]　A [解析]　可通过举反例说明B、C、D均是错误的，或直接论证A选项正确． 二、填空题 7．“x＝0且y＝0”的否定形式为________． [答案]　x≠0或y≠0 [解析]　“p且q”的否定形式为“?p或?q”． 8．和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是________． [答案]　异面 [解析]　假设AC与BD共面于平面 α，则A、C、B、D都在平面α内，AB?α，CDα，这与AB、CD异面相矛盾，故AC与BD异面． 9．在空间中有下列命题：空间四点中有三点共线，则这四点必共面；空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；垂直于同一直线的两直线平行；两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中真命题是________． [答案]　 [解析]　四点中若有三点共线，则这条直线与另外一点必在同一平面内，故真；四点中任何三点不共线，这四点也可以共面，如正方形的四个顶点，故假；正方体交于同一顶点的三条棱所在直线中，一条与另两条都垂直，故假；空间四边形ABCD中，可以有AB＝CD，AD＝BC，例如将平行四边形ABCD沿对角线BD折起构成空间四边形，这时它的两组对边仍保持相等，故假． 三、解答题 10．实数a、b、c、d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd1. 求证：a、b、c、d中至少有一个是负数． [解析]　假设a、b、c、d都是非负数． 则1＝(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd，即ac＋bd≤1.这与已知ac＋bd1矛盾， 所以假设不成立．故a、b、c、d中至少有一个是负数． [点评]　该命题中含有“至少”字样，故想到用反证法来证明，又因为已知中有ac＋bd1这一条件，要想构造出ac＋bd，需用(a＋b)乘以(c＋d)． 一、选择题 11．(2013·山东青岛二中高二期中)用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°”，反证假设正确的是(　　) A．假设三内角都大于60°B．假设三内角都不大于60° C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60° [答案]　B 12．设a、b、cR＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR0”是P、Q、R同时大于零的(　　) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分又不必要条件 [答案]　C [解析]　若P0，Q0，R0，则必有PQR0；反之，若PQR0，也必有P0，Q0，R0.因为当PQR0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，