同济高数第三版6-2.pdf

一、一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 一一、、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 g(y)dy== f (x)dx == 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.. 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.. 4 4 −− dy 2 5 −−5 2 例如例如 == 2x y ⇒⇒ y dy== 2x dx, 例如例如 == ⇒⇒ == dx 设函数设函数g(y)和和f (x) 是连续的是连续的, 解法解法 设函数设函数 和和 是连续的是连续的 解法解法 分离变量法分离变量法 g(y)dy== f (x)dx 分离变量法分离变量法 ∫∫∫∫ == ∫∫∫∫ 设函数设函数G(y)和和F(x) 是依次为是依次为g(y)和和f (x) 的原函的原函 设函数设函数 和和 是依次为是依次为 和和 的原函的原函 为微分方程的解为微分方程的解. 数数, 为微分方程的解为微分方程的解 数数 G(y) == F(x) ++ C == ++ 二、二、典型例题典型例题 二二、、典型例题典型例题 dy == 2xy 的通解的通解. 例1例1 求解微分方程求解微分方程 == 的通解的通解 例例11 求解微分方程求解微分方程 dx dy 解解 解解 == 2xdx, 分离变量分离变量 == 分离变量分离变量 y dy == 2xdx, 两端积分两端积分 == 两端积分两端积分 ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ y 2 ln | y |== x ++C , == ++ 1 2 2 2 x ++C C C ++ 1 1 x