同济高数第三版6-2.pdf
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一、一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程
一一、、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程
g(y)dy== f (x)dx
== 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程..
可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程..
4 4
−−
dy 2 5 −−5 2
例如例如 == 2x y ⇒⇒ y dy== 2x dx,
例如例如 == ⇒⇒ ==
dx
设函数设函数g(y)和和f (x) 是连续的是连续的,
解法解法 设函数设函数 和和 是连续的是连续的
解法解法
分离变量法分离变量法
g(y)dy== f (x)dx 分离变量法分离变量法
∫∫∫∫ == ∫∫∫∫
设函数设函数G(y)和和F(x) 是依次为是依次为g(y)和和f (x) 的原函的原函
设函数设函数 和和 是依次为是依次为 和和 的原函的原函
为微分方程的解为微分方程的解.
数数, 为微分方程的解为微分方程的解
数数 G(y) == F(x) ++ C
== ++
二、二、典型例题典型例题
二二、、典型例题典型例题
dy
== 2xy 的通解的通解.
例1例1 求解微分方程求解微分方程 == 的通解的通解
例例11 求解微分方程求解微分方程
dx
dy
解解
解解 == 2xdx,
分离变量分离变量 ==
分离变量分离变量
y
dy
== 2xdx,
两端积分两端积分 ==
两端积分两端积分 ∫∫∫∫ ∫∫∫∫
y
2
ln | y |== x ++C ,
== ++
1
2 2 2
x ++C C C
++ 1 1 x
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