同济第三版-高数-(2.6)第六节变化率问题举例及相关变化率同济第三版-高数-讲述.ppt

应用问题中的函数关系所涉及的变量往往 不止一个，这些变量及变化率之间都有着某种 依赖关系和联系，这就是所谓相关变量及相关 变化率问题。 几乎所有的科学领域都有变化率问题，前面对函数 关系及变化率问题的讨论主要以抽象形式进行的，即所 研究的是函数及其变化率的一般性质。这些函数关系 及变化率问题其实都有着具体的实 际背景和广泛的应用。 为更感性地理解这种函数关 系及变化率的概念，以下考察 一些具体背景及应用问题。 例：如果 s = f( t )表示质点沿数轴作直线运动时的位置 函数，由导数的物理意义可知， 代表质点在时刻 t 时 的瞬时速度，即位移关于时间的变化率。 设质点位置函数的具体表达式为 s = f( t )= t 3 - 6 t 2 + 9 t，其中 t、s 的单位分别为 s 和 m . (1) 求速度表达式，并分别写出 2s 和 4s 时的速度； (2) 何时质点静止不动； (3) 何时质点沿数轴正向运动； (4) 画出质点运动草图； (5) 求出前 5s 质点运动的路程。 速度与路程问题 根据导数的物理意义进行计算 求质点的速度表达式及 2s,4s 时的速度导数 速度函数是位置函数对时间的导数，给定位置函数 s = f( t )= t 3 - 6 t 2 + 9 t， 故求得速度函数为 当 t = 2 时， v( 2 )=[ 3t 2 - 12 t + 9 ]t = 2 = 3?2 2 - 12? 2 + 9 = -3 m /s， 当 t = 4 时， v( 4 )=[ 3t 2 - 12 t + 9 ]t = 4 = 3?4 2 - 12? 4 + 9 = 9 m /s . 求质点运动过程中的瞬间静止不动点 质点的静止不动点就是速度为零的点，于是令： v( t )= 3t 2 - 12 t + 9 = 3( t 2 - 4 t + 3 )= 3( t - 1 )( t - 3 )= 0， 解得 t = 1 和 t = 3 是质点的静止不动点。 质点沿数轴正向运动的时间段就是速度方向与数轴 方向一致的时间段，即 v( t ) 0 的情形，于是令： v( t )= 3t 2 - 12 t + 9 = 3( t - 1 )( t - 3 ) 0， 解得 t 1 和 t 3 . 求质点沿数轴正向运动的时间段 作质点运动草图 作质点运动的图形通常就是作质点运动的轨迹图， 而不是位移函数的二维图形。 由前几问的讨论知： 当 t 1 和 t 3 时，质点沿数轴正向运动， 当 1 t 2 时，质点沿数轴反向运动。 于是可作出质点运动的轨迹图如下： 求质点在 5s 内走过的路程 因为当 t 1 时，质点沿数轴正向运动，当 1 t 2 时，质点沿数轴反向运动，当 t 3 时，质点又沿数轴 正向运动。因此质点在 5s 内走过的路程应逐段考察。 质点从 t = 0 到 t = 1 内走过的路程为 ? f( 1 )- f( 0 )?= ? 4 - 0 ?= 4( m )； 质点从 t = 1 到 t = 2 内走过的路程为 ? f( 2 )- f( 1 )?= ? 0 - 4 ?= 4( m )； 质点从 t = 2 到 t = 5 内走过的路程为 ? f( 5 )- f( 2 )?= ? 20 - 0 ?= 20( m )； 于是求得质点在 5s 内走过的路程为 4 + 4 + 20 = 28( m ) . 例：如果金属杆是均匀的，则其线密度 ? 是不变的，此 时可用单位长度的质量来定义其密度，其单位为kg/m . 现考虑不均匀杆的密度定义，假设从左端算起长度 为 x 的一段杆的质量为 m = f( x )，杆位于 x = x 1 和 x = x 2 之间部分的质量为 ? m = f( x 2 )- f( x 1), 其平均线密度为 这部分质量为 f( x ) 线密度问题 随着 ? x →0 ( 即 x 2 → x 1 ) ，平均线密度 的极限就是金属杆在 x = x 1 处的线密度 ? ，即线密度是 质量关于长度的变化率或导数。 用符号表示就是 例如：设 m = f( x )= ， 则杆在[1,1.2 ]上的平均线密 度为 而在 x = 1 处的线密度为 如果有一固定的条件联系着几个变量，这些变量又 都随着另一个变量的改变而改变，那么它们的变化率之 间必