模式识别孙即祥第4章习题解.doc
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第四章 习题解
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4.2 设一维两类模式满足正态分布,它们的均值和方差分别为,?1=0,?1=2,?2=2,?2=2,p(x) ?N(?,?),窗函数P(ω1)= P(ω2),取0-1损失函数,试算出判决边界点,并绘出它们的概率密度函数曲线;试确定样本-3,-2,1,3,5各属哪一类。
解:
1
x
已知 ,
?
牋牋牋牋牋牋牋牋?)= P(ω2),
?
?
?
?
?
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由Bayes最小损失判决准则:
如果 ,则判 ,否则判 。
?如果 ,则判 ,否则判 。
?-3,-2属于ω1;1,3,5属于ω2。
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4.7 在图像识别中,假定有灌木丛和坦克两种类型,分别用ω1和ω2表示,它们的先验概率分别为0.7和0.3,损失函数如表3.1所示。现在做了四次试验,获得四个样本的类概率密度如下:
牋牋牋牋?图像识别中:0.1,0.15,0.3, 0.6
x1??? x2??? x3??? x4???? x :0.8,0.7,0.55, 0.3
(1)?? 试用贝叶斯最小误判概率准则判决四个样本各属于哪个类型;
(2)?? 假定只考虑前两种判决,试用贝叶斯最小风险准则判决四个样本各属于哪个类型;
(3)?? 将拒绝判决考虑在内,重新考核四次试验的结果。
表3.1
类型损失
判决 ω1 ω2 ?1 (判为ω1) 0.5 2.0 ?2 (判为ω2) 4.0 1.0 ?3 (拒绝判决) 1.5 1.5 解:
(1)两类问题的Bayes最小误判概率准则为
如果 ,则判 ,否则判 。
由已知数据,?12=0.3/0.7=3/7,
样本x1:∵ l12(x1)=0.1/0.8?12=3/7 ? x1?ω2
样本x2:∵ l12(x2)=0.15/0.7?12=3/7 ? x2?ω2
样本x3:∵ l12(x3)=0.3/0.55?12=3/7 ? x3?ω1
样本x4:∵ l12(x4)=0.6/0.3?12=3/7 ? x4?ω1
?
(2)不含拒绝判决的两类问题的Bayes最小风险判决准则为
如果 ,则判 ,否则判 。
由已知数据,?12=0.3?(2 - 1)/[0.7?(4 - 0.5)]=3/24.5,
样本x1:∵ l12(x1)=1/8?12=6/49 ? x1?ω1
样本x2:∵ l12(x2)=3/14?12=6/49 ? x2?ω1
样本x3:∵ l12(x3)=6/11?12=6/49 ? x3?ω1
样本x4:∵ l12(x4)=6/3?12=6/49 ? x4?ω1
?
?
(3)含拒绝判决的两类问题的Bayes最小风险判决准则为
其中条件风险:
后验概率:
?
记 ? ? (4.7-1)
则,含拒绝判决的两类问题的Bayes最小风险判决准则为
对四个样本逐一列写下表,用(4.7-1)式计算r(?j|x)。
样本x1:
?(?j|ωi)??? 类型
损失
判决 ω1
p(x|ω1)P(ω1)=
0.1?0.7=0.07 ω2
p(x|ω2)P(ω2)=
0.8?0.3=0.24 ?
r(?j|x)
? ?1 (判为ω1) 0.5 2.0 0.5*0.07+2*0.24=0.515 ?2 (判为ω2) 4.0 1.0 4*0.07+1*0.24=0.52 ?3 (拒绝判决) 1.5 1.5 1.5*0.07+1.5*0.24=0.465 因为r(?3|x1)=0.465最小,所以拒绝判决;
样本x2:
?(?j|ωi)??? 类型
损失
判决 ω1
p(x|ω1)P(ω1)=
0.15?0.7=0.105 ω2
p(x|ω2)P(ω2)=
0.7?0.3=0.21 ?
r(?j|x)
? ?1 (判为ω1) 0.5 2.0 0.5*0.105+2*0.21=0.4725 ?2 (判为ω2) 4.0 1.0 4*0.105+1*0.21=0.63 ?3 (拒绝判决) 1.5 1.5 1.5*0.105+1.5*0.21=0.4725 因为r(?1|x2)=0.4725最小,所以判x2?ω1,即灌木丛,或拒绝判决;
样本x3:
?(?j|ωi)??? 类型
损失
判决 ω1
p(x|ω1)P(ω1)=
0.3?0.7=0.21 ω2
p(x|ω2)P(ω2)=
0.55?0.3=0.165 ?
r(?j|x)
? ?1 (判为ω1) 0.5 2.0 0.5*0.21+2*0.165=0.435 ?2 (判为ω2) 4.0 1.0 4*0.21+1*0.165=1.005 ?3 (拒绝判决) 1.5 1.5 1.5*0.21+1.5*0.165=0.5625 因为r(?1|x3)=0.435最小,所以判x3?ω1,即灌木丛;
样本x4:
?(?j|ωi)??? 类型
损失
判决
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