浙江省新课程高考数学向量命题特点及备考.doc

浙江省新课程高考数学向量命题特点及备考 唐先成 浙江省青田县船寮高级中学 323911 摘要：平面向量是高中数学的重点内容之一，是进一步学习数学知识的有力工具，在高考中占有重要地位，通过浙江省新课程四年高考题的命题发现，每年高考至少有一道客观题．本文结合高考命题的特点，分六个方面对浙江省新课程高考试题进行分析，同时探究备考复习策略，给出三点复习建议，希望在平面向量复习时有所启示． 关键词：平面向量；命题特点；高考备考 平面向量是每年高考必考内容，是数形结合的载体，它兼具代数的抽象严谨和几何的直观特点．纵观浙江省四年高考数学新课程题试卷，其中平面向量部分每年必有一道客观题．其中2012年道选择题及填空题各一道，试题稳定中凸显变化，变化中追求创新．重点考查了向量的运算及其几何意义，以及向量的模，数量积及坐标的运算等．试题强调几何背景，侧重向量数形兼备的特点进行命题，入口宽，可以进行几何推理或代数运算，属中等偏容易题． 一、以平行、垂直为载体，考查向量的基本概念及基本运算 例1．（2012年高考理科卷第5题）设是两个非零向量． A．若，则 B．若，则| C．若，则存在实数，使得 D．若存在实数，使得，则 解析：利用排除法可得选项C是正确的，因为，则共线，即存在实数，使得使得．如选项：成立时，可为异向的共线向量；选项：若，由正方形得不成立；选项：若存在实数，使得，可为同向的共线向量，此时显然不成立．故选答案． 　评注：此题背景来源于《普通高中课程标准实验教科书数学》必修4第82页“问题探究”．试题以共线（平行）、垂直为主要载体对向量的基本概念及运算法则进行了考查，体现了课程标准对平面向量的教学要求，所以在教学中要真正落实“双基”，而不能“概念一提而过、练习一闪而走”，复习中直奔教辅资料大量的机械训练，学生只有夯实基础，才能有进一步提高的潜力． 二、以平行、垂直为载体，考查向量模的运算 例3.（2010年高考文科卷第13题）已知平面向量则的值是 ． 解析：由题意可知，由，解得，所以2=，所以 =． 评注：试题以垂直为主要载体对向量模求解，考查了平面向量数量积的意义及两个向量垂直的条件是数量积为零．本题借助于模的运算，实质利用平行与垂直的条件，解决这类问题关键是熟练掌握向量的基本运算，把问题转化为平面向量模的求解（公式）. 三、以平行、垂直为载体，考查向量的坐标运算 例3．（2009年高考文科卷第5题）已知向量, .若向量满足，,则=（ ） ．(,) ．(-,-) ．(,) ．(-,-) 解析不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有满足，，且以向量为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是 ． 解析： 因为，由，， 可得 ，故． 评注：本题主要考查平面向量的几何意义，平行四边形的面积公式与解三角不等式以及向量夹角的范围，解答时要注意结合三角函数的不等式求角度的范围． 五、以三角形为载体，考查向量的数量积 例5.（2012年高考理科卷第15题）在中，是的中点，，，则=________． 解析:（方法1）利用正、余弦定理求解． 由余弦定理得：， ， 由，两式子相加为：， ， . （方法2）利用向量数量积的运算求解． 如图所示, ，． = （方法3）此题最适合的方法是特殊图形法求解．假设是以的等腰三角形，如图， ，，．＝． 评注：此题与浙江省2009年高考文科18题相似，在三角形中已知向量的数量积，求解三角形的边长、面积．三角形中求向量的数量积问题是最常见的题型．本试题很好地体现了标准与考试说明中的要求，试题设计情景熟悉、入口宽、方法多、有层次，贴近学生的实际.试题既可以用解三角形的方法（余弦定理），也可以用向量的数量积，还可以用特殊值的方法求解．在解选择题、填空题时，除了关注解这类问题的通法外，还要注意“小题小做”，不要“小题大做”，应充分对试题特征进行分析，合理利用特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形等特殊化的思想来解题会产生意想不到的效果． 六、向量与其他知识的交汇 1、向量与三角的交汇 例6.（2010年高考理科卷第16题）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则的取值范围是__________________ .，，构成三角形的三边，设， 由正弦定理得：，所以．又， 所以，，即． 　　评注：利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解．本题主要考查了平面向量的四则运算及其减法几何意义，关键是利用正弦定理构造方程进行求解，还要考虑正弦函数相关知识．该题立意新颖，构思巧妙，突出考查了对问题的转化能力和数形结合的能力． 2、向量与圆的交汇 例7.（2009年高考理科卷第7题）满足,,，以，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为__