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12传染病模型 传染病是人类的大敌，通过疾病传播过 程中若干重要因素之间的联系建立微分方程 加以讨论，研究传染病流行的规律并找出控 制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的 工作。在本节中，我们将主要用多房室系统 的观点来看待传染病的流行，并建立起相应 的多房室模型。 问题的提出： 医生们发现，在一个民族或地区，当某种传 染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个 常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两 次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。 如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。 传染病模型 问题 • 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型 模型1 已感染人数(病人) i(t) 假设 • 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为λ 建模 ( ) ( ) (i)t +Δt −i t λi t Δt di λt i t i(e) λi dt 0 i ( 0i ) t i →⇒∞→ ∞ ? 0 若有效接触的是病人， 必须区分已感染者(病 则不能使病人数增加 人)和未感染者(健康人) 模型2 区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 假设 1）总人数N不变，病人和健康 SI 模型 人的 比例分别为 ( ), (i)t s t 2 ）每个病人每天有效接触人数 λ~ 日 为λ, 且使接触的健康人致病 接触率 建模 N i t [ (t i )t ( )]s t[ Ni( )]t t( ) +Δ − λ Δ di λsi ⎧di − λ ⎪ i (1 i ) dt ⎨dt ( ) ( ) s 1t +i t ⎪ i