数学毕业论文之数学分析中求极限的几种常用方法(定稿).doc

阜阳师范学院信息工程学院 Fuyang Shifan Xueyuan Xinxi Gongcheng Xueyuan 本科毕业论文 题 目: 数学分析中求极限的几种常用方法 学 生: 方 常 学 号： 201002010312 学 院： 阜阳师范学院信息工程学院 专 业： 数学与应用数学 入学时间: 2010 年 09 月 13 日 指导教师： 王海坤 职称: 教授 完成日期： 2014 年 4 月 20 日 诚信承诺书 我谨在此承诺:本人所写的毕业论文《数学分析中求极限的几种常用方法》均系本人独立完成，凡涉及其他作者的观点和材料均作了注释。如有不实，本人愿承担相应后果，接受学校的处理。 承诺人（签名） 年 月 日 目录 摘要、关键字 ………………………………………………………（1） 1 引言 ……………………………………………………………（1） 2 极限的求法 ……………………………………………………（1） 2.1 利用两个准则求极限……………………………………（1） 2.2 利用导数的定义求极限…………………………………（2） 2.3 利用两个重要极限公式求极限…………………………（3） 2.4 利用函数的连续性求极限………………………………（3） 2.5 利用等价无穷小量代换求极限…………………………（4） 2.6 利用泰勒展开式求极限…………………………………（4） 2.7 利用洛必达法则求极限…………………………………（5） 2.8 利用定积分求极限 ……………………………………（6） 3 结束语 …………………………………………………………（6） 参考文献 ……………………………………………………………（7） 数学分析中求极限的几种常用方法 姓名：方常 学号：201002010312 指导教师：王海坤 摘要：极限思想是许多科学领域的重要思想之一，在数学分析中的应用最为广泛。因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要。对于一些简单的极限，直接用定义和相关的公式就可以求解，但是对于一些复杂的极限，直接按极限的定义来求就显得非常局限，不仅难以计算，而且最后也容易算错。为了能够更好地解决极限的求解问题，本文介绍了几种常用求极限的方法，并且每种方法后面都附以实例来说明方法中蕴涵的数学思想。 关键词：夹逼准则 单调有界准则 无穷小量的性质 洛必达法则 定积分 泰勒展开式 引言 极限是数学分析中极其重要的概念，计算极限的方法有很多种，但是在实际应用中很难把握，本文试对数学分析中极限的几种重要求法作以总结，本文中介绍了8类典型极限问题的解法，介绍每种类型时，先把该种类型所要用到的知识点简单介绍，接着附以例题和解答，以便及时掌握和熟练应用。本文共有10道例题，希望能有一定的参考价值，同时也以期对极限问题有一个较为清晰的认识。 2.极限的求法 2.1利用两个准则求极限 2.1.1函数极限的迫敛性（夹逼法则）.若一正整数 N,当nN时，有且则有. 例1：求极限的值，其中 解: 由此可知： 而 ，，所以由迫敛性知： 2.1.2单调有界准则.单调有界数列必有极限，而且极限唯一. 例2：设。则的极限是否存在, 若存在求此极限。 解: 由及知。 设， 则 所以对一切自然数, 都有， 即数列单调下降, 由已知易见即有下界。 则由上述准则知：的极限存在。 令对两边取极限， 有所以有解得,或。 因为，所以，舍去,故 2.2利用导数的定义求极限 我们知道，函数在点处的导数为，利用这一点我们可以某些极限。 例3：求的极限 解：原式= 2.3利用两个重要极限公式求极限 它们的变形为： 例4：求 （2）原式 2.4利用函数的连续性求极限 对于某些连续函数，可利用其连续性求解。 例5： 求 解：（1）由题意知：函数在处连续，故有： （2）由，故可令，因此有： 2.5利用等价无穷小量代换求极限 常见等价无穷小有： 当 时,, ； 例6： 1) 2) 3) 1) 解：由于，故原式= 2）