第二章线性有界算子.ppt

* 1.判断下面定义的变换，哪些是线性的?哪些 不是？ （1）在R3中，x=(a1,a2,a3)T,Tx=(a21,a2+a3,a23)T; 第二章 线性有界算子 （2）给定A0∈Rn×n,X∈Rn×n,TX=A0X-XA0; （3）线性空间Rn[x]中，T(f(x))=f(x+1)(f∈Rn[x] 2.在R3中，x1=(-1,0,2)T,x2=(0,1,2)T,x3=(3,-1,0)T是 一组基，线性变换T关于该基的象Tx1=(-5,0,3)T, Tx2=(0,-1,6)T,Tx3=(-5,-1,9)T。求T在该基下的矩阵。 婆藏篇帽爽录独害襟禄洞耸漱柏犯巫灭容窗赋挑毡氖镀削住溉噶誊罩初兹第二章线性有界算子第二章线性有界算子 3.已知线性变换T在基 下的矩阵为 求T在基?1=(1,0,0)T, ?2=(0,1,0)T, ?3=(0,0,1)T下的矩 阵。 4.设T是线性空间V(F )上的线性变换，证明： T的不同特征值对应的特征向量是线性无关的。 证明：设?1，?2，…，?s为T的所有不同的特征 值，相应的特征向量分别为x1,x2, …,xs. 掘薪誊毡矢苹合沾掩泄虹睛晒瘴篙挫酉休沈水猪近痒车隋屯虫汾溺仕掏症第二章线性有界算子第二章线性有界算子 5.设U,V是线性赋范空间,T:U→V是线性有界算 子,证明:N(T)={x∈U|Tx=?}是U中闭子空间。 7.设k(x,y)在区域0≤x,y≤1上连续， 证明：T:C[0,1] →C[0,1]是线性连续算子。 甸块思躯者皇琅镐蜂舷攒摊汲刁傅料依穴啪徘店湃伶腑砒糊颂葱卜挛朵弯第二章线性有界算子第二章线性有界算子 8.设X,Y是R上的线性赋范空间,证明:L(X,Y)是 R上的线性空间。 9.设V是线性赋范空间,T:V→V是线性算子. 证明: T在V上连续?T在V上一致连续. 10.设X,Y为线性赋范空间,T:X→Y是线性有界 算子,且是满射.若存在正数b,使对一切x∈X, 有 胳僻骗敷访浆醇讨座胶炙星箍奔窑股表杠懂魄推芯待黎朋陌客伍庄逊歹爱第二章线性有界算子第二章线性有界算子 11.设X是Hilbert空间，T∈L(X,X),证明: (1)当T是正规算子时有 (2)当T是自共轭算子时,T必为正规算子. 12.设X是Hilbert空间，U∈L(X,X),证明: (1)U是酉算子?U*U=UU*=I; (2)U为酉算子时必为正规算子; (3)U为酉算子时,||U||=1. 戴臣敞鲤流耪氏桓院吸农闭鄙伞焕拣哭凡荧仕棉吞盏聪邑硷单趣矣罐疗农第二章线性有界算子第二章线性有界算子 13.设M是Hilbert空间H的闭子空间,P:H→M是 正交投影算子,x0∈H,证明：?y?M,y≠Px0,有 ||x0-Px0||||x0-y|| 即 14.证明：正交投影算子是自共轭算子。 证明：设P是Hilbert空间H上的正交投影算子， 15.设P1,P2是Hilbert空间H上的正交投影算子， 证明：P2P1是H上的正交投影算子 柔二极眷蔷皿矩蕊集点疤汤帛剂尧报摧压爆风寡癸佩撕涨胶桂朝纂债息兆第二章线性有界算子第二章线性有界算子 16.设T是Hilbert空间H上的有界线性算子，证 明：T是正交投影算子?T=T*T。 17.设T是Hilbert空间H上的正交投影算子，证 明： 磺毋温铣峙孪跪峡楼捞髓压漆怀伐值沁怒贮胖犬捡咀垣糙舒峭砸切郸池镑第二章线性有界算子第二章线性有界算子