第五章微分的逆运算问题1.doc

PAGE PAGE 76?第五章 微分的逆运算问题——不定积分志立则学思从之，故才日益而聪明日盛，成乎富有。 ——王夫之没有任何一门学问的学习，能象学习算术那样强有力地涉及到国内的经济、政治和艺术。数学的学习，能够激励那些沉睡和不求上进的年轻人，促使他们发展智慧和增强记忆力，甚至取得超越自身天赋的进步。 ——柏拉图?本章简介由求运动速度、曲线的切线和极值等问题产生了导数和微分，构成微积分学的微分学部分；同时由已知速度求路程、已知切线求曲线，和已知几何图形求面积与体积等问题，产生了不定积分和定积分，构成微积分学的积分学部分。前面已学习过已知函数求导数问题，本章考虑其反问题：已知导数求其原函数，即求一个位未知函数，使其导数恰好是某一已知函数。这种由导数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分。?§1 逆向思维又一例——原函数与不定积分提出问题 已知曲线，求过任意点的切线的斜率（设斜率存在）。显然，只要对求导即可。反之，若已知曲线求过任意点的切线的斜率，如何求曲线的方程？即已知函数的导数，如何求已知函数。学习过程1.1 原函数与不定积分的概念定义 设函数与在区间上有定义。若在上则称函数在区间上的原函数。研究原函数必须解决的两个重要问题：⑴ 什么条件下，一个函数存在原函数？⑵ 如果一个函数存在原函数，那么原函数有多少？定理1 若函数在区间I 上连续，则在I上存在原函数.定理2 设是在区间I上的一个原函数，则⑴也是的一个原函数，其中C为任意常数；⑵的任意两个原函数之间，相差一个常数.定义2 在区间I上的全体原函数称为在I 上的不定积分，记作其中称为积分号，为被积函数，为被积表达式，x为积分变量.不定积分的几何意义 若是的一个原函数，则称的图象为的一条积分曲线。于是，函数的不定积分在几何上表示的积分曲线族，它可由的某一条积分曲线沿y轴方向上下平移而得到.显然，曲线族中每一条积分曲线横坐标相同点处的切线相互平行.（如图5.1）例1设曲线通过点(0,0)，且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的余弦值，求此曲线.解设所求曲线为，为曲线上任一点，由导数的几何意义和题设条件有由于是的一个原函数，所以的不定积分是.于是所求的曲线族为 代入初始条件求得.故经过点(0,0)的积分曲线为1.2 基本积分公式提出问题求一个函数的原函数远比求一个已知函数的导数困难得多，其原因在于原函数的定义不像导数那样具有构造性，它只告诉其导数正好等于已知函数，而没有指出由求原函数的具体操作办法。因此，只有选择按照微分法的已知结果去逆推。学习过程1. 基本积分公式推导由导数公式，令α-1=t，可得 的一个原函数为。所以。其余可由导数公式推出。2.基本积分公式表1.；2.；3.，；4.，；5.；6.， ；7.，8.，9.；10；11.；12.；13.；14.提出问题 由导数公式求不定积分只适用于被积函数是基本初等函数的导数的情形,对较复杂的不定积分,就需要研究不定积分的线性运算法则。学习过程不定积分的线性运算法则定理 1 若函数和在区间I上的原函数都存在，则在区间I上的原函数也存在，且证 由不定积分的定义只要证右边的导数等于左边的被积函数即可。定理 2 若函数在区间I上的原函数存在，为实数（k≠0），则函数在区间I上的原函数也存在，且例2 求解例3 求解 小结本节主要学习原函数概念、不定积分的概念、性质及运算。作业 习题五必作题 1(1)(2)(3)(4)选作题 1(5)—（8）思考题 若是的一个原函数，那么 （C是任意常数）是否包含了的所有原函数？§2 矛盾转化法——换元积分法和分部积分法由于原函数的定义是非构造性的，直接求不定积分较困难，因此需要介绍换元积分法和分部积分法。2.1 换元积分法提出问题 换元积分法的实质是一种矛盾转化法，分为和第二换元积分法。如果用直接积分法不易求得，但被积函数可分解为 作变量代换，又有，则可将关于变量x 的积分转化为变量u 的积分，于是有如果可以求出，问题就可解决。学习过程第一换元积分法定理1 （第一换元积分法）设及连续，且，则作变量代换后，有 证 只要证明上式右端的导数等于左端不定积分的被积函数即可。例1 求 解 ，则，由公式可得例2 求解注 在使用公式时，熟练后可省略变量u ，写成如下简便形式： 做一做 求。使用第一换元积分法的关键：把被积表达式凑成的形式，因此，第一元积分法又称为“凑微分法”。常用的凑微分式：第二换元