常微分方程第五章线性微分方程组.ppt

一阶线性非齐次方程组的一般理论1本节研究一阶线性非齐次方程组2的通解结构与常数变易法.348如果5是其对应齐次方程组(5.2)的解，则6是非齐次方程组(5.1)的解.7理5.9线性非齐次方程组(5.1)的任意两个解之差8是其对应齐次方程组(5.2)的解.9是线性非齐次方程组(5.1)的解，而第五章线性微分方程组云南师范大学数学学院黄炯2018例如，已知在空间运动的质点012019的速度022020与时间及点的坐标的关系为032021且质点在时刻t经过点042022求该质点的运动轨迹。05因为,所以这个问题其实就是求一阶微分方程组满足初始条件的解（1.12）12543中,令就可以把它化成等价的一阶微分方程组注意，这是一个含n个未知函数的一阶微分方程组。。另外，在n阶微分方程12345含有n个未知函数的一阶微分方程组的一般形式为：01此方程组在02上的一个解，是这样的一组函数03使得在04上有恒等式05含有n个任意常数的解称为方程组的通解.如果通解满足方程组则称后者为(1)的通积分.如果已求得(1)的通解或通积分，要求满足初始条件01的解，可以把此初始条件代入通解或通积分之中，得到关于02的n个方程式，如果从其中解得03再代回通解或通积分中，就得到所求的初值问题的解.04为了简洁方便，经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程组(1)令n维向量函数并定义则(1)可记成向量形式初始条件可记为其中这样，从形式上看，一阶方程组与一阶方程式完全一样了。

进一步，对n维向量Y和矩阵定义易于证明以下性质：当且仅当Y=0(0表示零向量，下同);对任意常数有01有02对任意常数称‖Y‖和‖A‖分别为向量Y和矩阵A的范数。进而还有如下性质03有了以上准备，完全类似于第三章定理3.1，我们有如下的关于初值问题(1)的解的存在与唯一性定理.定理5.1如果函数F(x,Y)在n+1维空间的区域上满足：

1)连续；

2)关于Y满足李普希兹条件，即存在N0,使对于R上任意两点有则初值问题(1)的解在上存在且唯一，其中5.2一阶线性微分方程组的一般概念是线性的。关于为线性的。方程组（1）如果在一阶微分方程组(1)中，函数则称(1)为一阶线性微分方程组。我们总假设(1)的系数及01上连续。03在某个区间02向量形式：记：04向量形式如果在I上，,方程组变成（5.2)我们把(5.2)称为一阶线性齐次方程组。

如果(5.2与(5.1)中A(x)相同，则称(5.2)为(5.1)的对应的齐次方程组.与第二章中关于一阶线性微分方程的结果类似，我们可以证明如下的关于(5.1)的满足初始条件(5.3)的解的存在与唯一性定理.（5.1)（5.3)定理5.1′如果(5.1)中的A(x)及F(x)在区间I=上连续，则对于上任一点x以及任意给定的方程组(5.1)的满足初始条件(5.3)的解在上存在且唯一.

它的结论与定理3.1的不同之处是：定理3.1的解的存在区间是局部的，而定理5.1则指出解在整个区间上存在.5.2一阶线性齐次方程组的一般理论

次微分方程组解的性质

研究一阶线性齐次方程组(5.2)的通解结构.为此我们首先从(5.2)的解的性质入手.

（5.2)????

是方程组(5.2)的m个解，则

????????????????????????????

也是(5.2)的解，其中是任意常数.换句话说，线性齐次方程组(5.2)的任何有限个解的线性组合仍为(5.2)的解.若

??????????(5.4)

??????????定理5.2告诉我们，一阶线性齐次微分方程组(5.2)的解集合构成了一个线性空间.为了搞清楚这个线性空间的性质，进而得到方程组(5.2)的解的结构，我们引入如下概念.定义5.1

????????????????????，使得

??????????????

在区间I上恒成立，则称这m个向量函数在区间I上线性相关；否则称它们在区间I上线性无关.

????显然，两个向量函数的对应分量成比例是它们在区间I上线性相关的充要条件.另外，如果在向量组中有一零向量，则它们在区间I上线性相关.

若有函数组

??????????????010203043中两个向量函数的各个对应分量都构成线性相关函数组.这个例题说明，向量函数组的线性相关性和由它们的分量构