数学物理方法1-1复变函数与解析函数.ppt

概述 主干基础课以高数和普物为基础，为后续专业课做准备承上启下。 课程的主要目的是，培养学生用数学语言表述物理问题的能力、综合应用数学知识的能力，提高运算能力。 课程的主要内容有：复变函数论、积分变换及应用、偏微分方程的定解问题、特殊函数、近似解法. 教材及指导书 一、教材： 管平等编.《数学物理方法》，第二版，高等教育出版社，2010年4月 二、主要的参考书： 梁昆淼编.《数学物理方法》，第三版，高等教育出版社，1998年6月 。 胡嗣柱、倪光炯编，《数学物理方法》，上海：复旦大学出版社 郭敦仁编，《数学物理方法》，北京：人民教育出版社。 陆全康编，《数学物理方法自学辅导》，上海：上海科学技术出版社。 第一章 复变函数 主要内容: §1.1复变函数和解析函数 §1.2复变函数的积分 §1.3复变函数的级数 §1.4留数及其应用 §1.5分式线性变换。 §1.1复变函数和解析函数 复数的表示 零点与无穷远点 复平面上特殊的点:零点和无穷远点. (1)复数零的幅角没有定义,模为0. (2)无穷远点的模为∞,幅角不确定. 包含“无穷远点”的复平面称为扩充复平面，该无穷远点借助测地投影法来定义。 测地投影法定义无穷远点 三、 复变函数 区域的基本概念 单连通域与多连通域 复变函数的定义 复变函数举例—基本初等函数 二、解析函数的定义 .以z轴作实部,颜色作虚部 在这个图像中,为了把不同虚部表示出来,我们将它画成了4个 图像,它们分别具有不同的颜色,也就是虚部的值是不同的,而 实部的形状则相同.注意,在实轴的正方向,曲面的表现就是我 们熟悉的实数的对数函数曲线的图像.  以z轴作虚部 ,颜色作实部 这个图像很 像一个螺旋 和上一个图 像完全不同. 首先看Δz则沿实轴逼近于0的情形： 再看Δz沿虚轴逼近于0的情形： 定理1.1.1(可导的必要条件) Cauchy-Riemann条件 例5 证明： 定理1.1.2 （可微的充要条件） 导数f (z0)的幅角Argf (z0)是曲线经过w=f(z)映射后在z0处的转动角. w=f(z) Argf (z0) 导数f ( z0)的模|f ( z0)|是经过w=f(z)映射后通过z0的任何曲线在z0的伸缩率。 Z 平面 w 平面 复变函数的导数的几何意义（伸缩系数与旋转角） 解： 设函数w=f(z)在点z0的某邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0处解析；又若f(z)在区域D内的每一点解析，则称f(z)在区域D内是解析函数 说明 2. 称函数的不解析点为奇点 1. 解析与可导的关系 函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然 由定理9.2即得： 定理9.3 （判断解析的充要条件） 解： 例7. 下列函数在何处可导，何处解析 解: 解: 证明: 三、初等函数及性质 1. 指数函数 性质： 注意： 2.三角函数 性质： ， ， 3. 对数函数 说明： 性质： 解: 4.幂函数 性质： 解： 作 业 习 题 （P） 1（1）（3）（5）； 2 第一章 复变函数 第一节 复变函数与解析函数 数学物理方法 王丽艳 Email: nj_wly@ 答疑地点：数学系 (图书馆507) 要求和考核 基本要求： 1、课前预习 2、按时、准时上课，不迟到、早退和缺席 3、上课认真听讲，做好笔记 4、课后复习，整理笔记，独立完成作业 成绩组成和考试方式： 1、平时成绩（出勤、听课、作业、笔记)占20%， 考试占80% 2、考试方式：闭卷笔试 §1.1.1 复变函数 z=x+iy x=Re z，y=Im z i为虚数单位，i2=-1 复数的几何意义 一、复数的概念 复平面 复数z=x+iy 虚轴 实轴 模 幅角 注： 代数表示： z=x+iy 三角表示： z=r(cosθ+isin θ) 指数表示： z=r exp(i θ) 复数的运算 z1=z2当且仅当Rez1= Rez2且Imz1= Imz1 注： 复数不能比较大小 复数相等 A A A’ 二、复数的运算  邻域 平面上以z0为中心，δ为半径的圆的内部的点所组成的集合，称为z0的δ -邻域 |z-z0| δ 0|z-z0| δ z0 δ z0 δ 开集 如果G内的每一个点都是它的内点，那么称G为开集。 G z0 内点 设G为一平面点集，z0为G中任意一点，如果存在z0的一个邻域，使该邻域的所有点都属于G，那么称z0为G的内点。 区域 平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件：1. D是开集；2. D是连通的。 边界点 设D为复平面上的一个区域，如果点