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PowerPoint数学物理方法 第一篇第二章 复变函数及其导数 柯西－黎曼条件 宁夏大学物理电气信息学院 陈焕铭 张磬兰 沈乃录 汪燕青 秦君琴 文晓霞 Contents Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title style Click to edit title Company Logo LOGO §1.2.1 复变函数 设G是一个复数 的集合，如果有一个确定的法则存在， 对于集合G中的每一个复数z，就有复数 与之对应，那么称 复变数 是复变数 z 的函数，记作 如果 z 的一个值对应着唯一的一个 ，那么函数 叫做单值的函数， 如果 z 的一个值有两个或两个以上的 值相对应，则称函数 是多值的. §1.2.2 复变函数的导数 由于 对应这一对实二元函数 因此复变函数 的极限、连续性就由二元函数 、 的极限和连续性来确定. 复变函数的导数，设函数 定义于区域D，z为D内一点， 点z+Δz仍在D内，如果极限 存在且等于复数A， 那么说 在点z可导，极限A叫 在z点的导数，记作 或 如果 在点z的δ-邻域 内每一点都可导，则称 在z点解析，点z叫 的解析点；如果 在点z处不解析，则称该点为 的奇点. 例1：设n为自然数，试证 是全平面的解析函数，且有 证明：对复平面上的任意一点z，由定义得 因此 由于复变函数导数定义与实变函数导数定义在形式上完全相同，因此实变函数中的求导法则（公式）在复变函数中完全适用.不加证明列出这些公式： C为常数 等等 例2： 除z＝0是奇点外在全平面处处解析，且 §1.2.3复变函数可导的必要条件：柯西-黎曼条件（C-R条件） 设 在点z处可导，则在点z处成立条件 这个条件就是著名的柯西(Cauchy)-黎曼(Riemann)条件，简称C-R条件. 事实上，由于 ， 于是若令 ，让 ，有 若令 ，让 ，有 因为 在点z可导，所以导数相等，即 应当指出，C-R条件仅是 在点z可导的必要条件，不是充分条件. 复平面上处处不可导的例子. 例3： 在复平面上除 外处处不可导. 事实上， ，这里 ， 若 则有 而 ，由于 ，因此C-R条件中至少有一个不成立， 故函数 除 外处处不可导. 在z＝0点有 则 ，表明函数 仅在 点可导，而在其它点都不可导，因此 在复平面上 处处不解析，即 不是解析函数. Text 1 Text 2 Text 3 Text 4 本章主要内容简要回顾 Company Logo