二元一次方程组和三元一次方程组的行列式解法.doc

PAGE  PAGE 3 二元一次方程组与三元一次方程组的行列式解法 行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题． 设有二元线性方程组 (1) 用加减消元法容易求出未知量x，y的值，当a11a22 – a12a21≠0 时，有 (2) 这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源．我们称4个数组成的符号 为二阶行列式．它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素．从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号． 根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成 ，， 如果记，， 则当D≠0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成 ， ， (3) 象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆． 首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的．分子中的行列式，x的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常数项得到的，而y的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的． 例1 用二阶行列式解线性方程组 解：这时 ， ， ， 因此，方程组的解是 ，， 对于三元一次线性方程组 (4) 作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念．我们称符号 (5) 为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和．这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号． 例2 令 ，，． 当 D≠0时，(4)的解可简单地表示成 ， ， (6) 它的结构与前面二元一次方程组的解类似． 例3 解线性方程组 解：， ， ， ． 所以，， ， ． 例4 已知，问a，b应满足什么条件？(其中a，b均为实数)． 解：，若要a2+b2=0，则a与b须同时等于零．因此，当a=0且b=0时给定行列式等于零． 为???得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识． 思考题： 当a、b为何值时，行列式 ． 提示：