第5章章线性系统二次型指标的最优控制.ppt

第五章 线性系统二次型指标的最优控制 ——线性二次型问题;5.1 引言 5.2 线性二次型问题的提法 5.3 终端时间有限时连续系统的状态调节器问题 5.4 稳态时连续系统的状态调节器问题 5.5 离散系统的线性二次型问题 5.6 伺服跟踪问题 5.7 设计线性二次型最优控制的若干问题 5.8 小结;5.1 引言; 的确定归结为求解一个非线性矩阵黎卡提（Riccati）微分方程或代数方程。而黎卡提方程的求解已研究得很透彻，有标准的计算机程序可应用，因此，求解既规范又方便。这种问题简称为线性二次型(Linear Quadratic 简称LQ)问题，目前应用得十分广泛，是现代控制理论最重要的结果之一。; 线性二次型问题的实用意义还在于：; ; 令状态误差为 ，我们要使 愈小愈好，为此，可根据 构成一个最优反馈控制 ，作为校正信号加到 上去，得到的实际控制信号 将使飞行器尽可能沿着 飞行。; 由于 、 应该比较小，它们将满足线性的状态方程，所以可用线性二次型问题设计出反馈控制 。我们可用图5-1表示上面的思想。; ;5.2 线性二次型问题的提法;其中， 为 维理想输出向量。寻找最优控制，使下面的性能指标最小; 下面对性能指标 中的每一项作一说明。因 为正定阵，则当 ，就有 。例如; 它与消耗的控制能量成正比，消耗得越多，则性能指标值 越大。故性能指标中这一项表示了对消耗控制能量的惩罚。 、 可看作加权系数，如认为 的重要性大于 ，则可加大 。将 选成时间函数，是为了对不同时刻的 加权不一样。实际上，为了简单起见常选用常数阵 。; 为半正定阵，则当 ，就有 ， 表示误差平方和积分，故这项表示对系统误差的惩罚。 表示对终端误差的惩罚，当对终端误差要求较严时，可将这项加到性能指标中。; 这时 （单位阵），理想输出 ，则 ，这时，问题归结为用不大的控制量使 保持在零值附近。因而称为状态调节器问题。; 这时 ， ，这时要用不大的控制量使 跟踪 ，因而称为跟踪问题。例如，用雷达跟踪飞行器的运动，通过控制使跟踪误差趋于零。;5.3 终端时间有限时连续系统的状态调节器问题;5.3.1 用极小值原理求解上面的问题;因 正定，故 存在，由上式可确定最优控制 。为寻求最优反馈控制律还需把 与状态 联系起来。; ; 然后再来求出 （这种方法称为扫描法）。将（5-11）代入（5-9），再代入（5-5），得; 上式对任意 都应成立，故方括号内的项应为零，这就得出; ; 又称为最优反馈增益矩阵。最优反馈系统的结构图如图5-2所示。; ; 注意到 与状态 无关，故可在系统未运行前，将 先计算出来（称为离线计算），把它存储在计算机中。;5.3.2 矩阵黎卡提微分方程的求解及的性质; 2、 ; 因此 和 一样满足同一黎卡提方程，并且边界条件一样，即 。于是，由微分方程解的唯一性可知;;;解;