第二次数学作业.docx

证明： 证明：记,根据向量范数的定义有： = , = 设中的最大值为，其值为a（1kn），即=a. 则有： ==a 所以.根据有： =n 所以.因此得证。 证明： （1）； （2）.并说明与相容。 证明：（1）先证. 记,==. == =n== 所以： （※） 1）根据矩阵范数的定义： = 因此存在，使=.根据（※）式： == 即. 2）同理，存在，使=.根据（※）式： == 所以得证。 （2）设非负的对称阵的特征值从大到小排列为,,，则其均为非负实数。 = 则tr()== 1）根据矩阵的迹等于所有特征值之和有： tr()=tr()=n= n =n= n 因此. 2） === 因此。得证。 3）与相容，因此： 则与相容。 设A对称正定，记= ，.证明为上一种范数，若非正定则如何？ 解：（一）证明： 1）由于A对称正定，则=0， . 当且仅当时，=0.即=0 则范数的正定性可证。 2）=== 则范数的齐次性可证。 3）由A为对称阵有： == 构???以下二次型内积： ，成立 因此： 即： （※） 根据（※）式有： = = 即≤。 范数的三角不等式可证。 根据（1）、（2）、（3）证明为上一种范数。 （二）若A非正定，根据= 的定义有： ≥0， 当时，==0，而反过来不一定成立，即不是=0成立的充要条件。因此不满足正定性，不能证明为上一种范数。 但是A虽非正定，仍满足齐次性与三角不等式。 不等式1和是否一定成立？证明你的结论。 证明：根据定理1.6，设为上任一种矩阵范数，对于有： （※） 1）对于单位矩阵I，其特征值为1，即=1，根据式（※）： 因此不等式1恒成立。 2）当为非奇异矩阵时，其逆矩阵存在。此时： 由于（1）中已证明1恒成立，且根据矩阵范数的相容性有： 即。当≠0时： = 因此当非奇异，且不为0时，一定成立。 设，，定义为： ， 计算，和,并证明1. 解： 1） == 由于各项之间为等比数列，公比为q，q=。按照等比数列求和公式： == 2）= 则： = == 3） = 由第2题中结论有： = 所以1。