正弦函数的图象和性质以及三角函数的周期性.doc

正弦函数的图象和性质以及三角函数的周期性 【学习目标】 1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.借助图象理解正弦函数的性质. 【要点梳理】 要点一：正弦函数图象的画法 1．描点法： 按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法。 2．几何法 利用三角函数线作出正弦函数在内的图象，再通过平移得到的图象。 3．五点法 先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线在一个周期内的图象。 在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是 要点诠释： （1）熟记正弦函数图象起关键作用的五点。 （2）若，可先作出正弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到的图象。 要点二：正弦曲线 （1）定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线。 （2）图象 要点诠释： （1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质。 （2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如，方程根的个数。 要点三：函数图象的变换 图象变换就是以正弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到。 要点四：周期函数 函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期. 要点诠释： 1.定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期. 2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期. 要点五：正弦函数性质 函数 正弦函数y＝sinx 定义域 值域 奇偶性 奇 周期性 最小正周期 单调区间（k∈Z） 增区间 减区间 最值点（k∈Z） 最大值点；最小值点 对称中心（k∈Z） 对称轴（k∈Z） 要点诠释： （1）正弦函数的值域为，是指整个正弦函数或一个周期内的正弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数的值域时，要特别注意其定义域． （2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域． 要点六：正弦型函数的性质． 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到： （1）定义域： （2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数． 要点诠释： 判断函数的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件． （5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为． 【典型例题】 类型一：“五点法”作正弦函数的图象 例1．作出函数在[－2π，2π]上的图象． 【思路点拨】由于，因此只需作出函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象即可． 【解析】函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象可采用将函数y=cos x，x∈[－2π，2π]的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方的方法得到，所得图象如下图所示． 【总结升华】 作图是一项很重要的能力，而“五点法”是作三角函数图象的一种非常简便的方法．在利用“五点法”作图时，一定要弄清楚是哪五点，为什么要取这五点等．此外第（2）小题中我们使用了对称变换，并且我们还可以发现，加了绝对值后，其周期变为原来的一半了． 举一反三： 【变式】用五点法作出，函数的图象． 【思路点拨】取上五个关键的点（0，2）、（，1）、、、（2，2）．（2）取上五个关键的点． 【解析】 （1）找出五点，列表如下： x 0 0 1 0 －1 0 y=2－u 2 1 2 3 2 描点作图（如下图）． 【总结升华】在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的． 类型二：利用图象的变换作正弦函数图象 例2．作函数的图象； 【思路点拨】要善于利用函数的图象来作及的图象。 【解析】将化为，其图象如下图。 【总结升华】