6.3.5平面向量数量积的坐标表示课件-高一年级下册学期数学人教A版（2025）必修第二册(共14张PPT)（含音频+视频）.ppt

平面向量数量积的坐标表示安徽淮南第四中学2021.3

新课程标准核心素养1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算.数学运算2.能够利用向量的数量积解决模长、夹角等问题.数学运算通过推导数量积的坐标运算及求夹角和模及向量垂直的判断中，加深对数量积的坐标运算的理解，两向量垂直的坐标表示可以与平行的坐标表示进行类比.

一、复习引入问题1回顾所学内容，回答下列问题：1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，若a，b的夹角为60°，则a·b＝____．12．设i，j为正交单位向量，则i·i=______；j·j=______；i·j=_____．110问题2已知两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样用a与b的坐标表示a·b呢？

因为a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，所以a·b＝（x1i＋y1j）·（x2i＋y2j）＝x1x2＋y1y2．＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1i·j＋y1y2j2a·b＝x1x2＋y1y2两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和对应相乘相加

问题3若a＝（x，y），如何计算向量的模|a|呢？a=a22＝(x1i＋y1j)2＝x12i2＋2x1y1i·j＋y12j2＝x12＋y12横纵坐标的平方和再开方若点A（x1，y1），B（x2，y2），如何计算向量的模？两点间距离公式

问题4已知两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样用坐标表示a⊥b呢？a⊥bx1x2＋y1y2＝0对应相乘相加等于0问题5已知两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样用坐标表示a，b的夹角呢？

题型一数量积的坐标运算例1.已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝() A．10 B．－10C．3 D．－3【解析】a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10．

题型二与向量模有关的问题

()()

题型三向量的夹角与垂直问题A．(－2，＋∞)B．(－2,)∪(,+∞)C．(－∞，－2) D．(－2,2)1212

若点A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则△ABC是什么形状？证明你的猜想．1-1xyo23-3123-2-1-245ABC解：因为AB＝(2－1，3－2)＝(1，1)，AC＝(－2－1，5－2)＝(－3，3)，所以AB·AC＝1×(－3)＋1×3＝0．于是AB⊥AC所以△ABC是直角三角形．向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段（或直线）是否垂直的重要方法之一

例4.用向量方法证明两角差的余弦公式yxo角α终边角β终边ABθ(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)OA=(cosα,sinα)OB=(cosβ,sinβ)OA·OB=cosαcosβ+sinαsinβOA·OB=OAOB·cosθ=cosθcosθ=cosαcosβ+sinαsinβα-β=2kπ±θ,k∈Zcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ