D11-2对坐标曲线积分.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 第二节 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 第十一章 一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, “大化小” “常代变” “近似和” “取极限” 常力沿直线所作的功： 解决办法: 求移动过程中变力所作的功W. 1) “大化小” 2) “常代变” 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 近似代替, 则有 所做的功为 F 沿 则 用有向线段 上任取一点 在 3) “近似和” 4) “取极限” (其中? 为 n 个小弧段的 最大长度) 2. 定义. 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑弧, 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 存在, 在有向曲线弧 L 上 对x 的曲线积分, 则称此极限为函数 或第二类曲线积分. 其中, L 称为积分弧段 或 积分曲线 . 称为被积函数 , 在L 上定义了一个向量函数 极限 记作 类似地, 记作 —称为对 y 的曲线积分. 对坐标的曲线积分也可写成向量形式： ， 1)应用上经常出现的是 记作 说明： 2)根据上述定义，引例中变力 所作的功可以表达成 3)存在条件：当 在有向光滑曲线弧 L 连续时，曲线积分 存在. 3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 (2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则 则 注意: 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! 推广： 若 ? 为空间曲线弧 , 记 二、对坐标的曲线积分的计算法 定理: 在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为 则曲线积分 连续, 证明: 下面先证 存在, 且有 对应参数 设分点 根据定义 由于 对应参数 因为L 为光滑弧 , 同理可证 特别地, 如果 L 的方程为 则 对空间光滑曲线弧 ? : 类似有 定理 例1. 计算 其中L 为沿抛物线 解法1 取 x 为参数, 则 解法2 取 y 为参数, 则 从点 的一段. 例2. 计算 其中 L 为 (1) 半径为 a 圆心在原点的上半 圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ). 解: (1) 取L的参数方程为 (2) 取 L 的方程为 则 则 例3. 计算 其中L为 (1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 解: (1) 原式 (2) 原式 (3) 原式 例4. 设在力场 作用下, 质点由 沿? 移动到 解: (1) (2) ? 的参数方程为 试求力场对质点所作的功. 其中? 为 例5. 求 其中 从 z 轴正向看为顺时针方向. 解: 取 ? 的参数方程 * 运行时, 点击按钮“定理”, 可看定理内容. 目录 上页 下页 返回 结束 * 运行时, 点击按钮“定理”, 可看定理内容.