拓展题型 二次函数综合题.ppt

（5）在直线AC的上方的抛物线上，是否存在一点M,使△MAC的面积最大？若存在，请求出点M的坐标，并求出△MAC面积的最大值；若不存在，请说明理由； 例2题图④ 【思维教练】要求图形面积最值问题，若求三角形面积最值，根据题意用未知数设出所求点的坐标，并利用所设点坐标表示出三角形的底和高，用面积公式求解；若求四边形面积最值时，常用到的方法是利用割补方法将四边形分成两个三角形，从而利用求三角形面积的方法求得用含未知数的代数式表示的线段（常用到相似三角形性质、勾股定理）.分别计算出每个三角形的面积，再进行和差计算求解.如此问，要使△MAC的面积最大，可先用含字母的式子表示出S△MAC，再利用二次函数性质讨论其最值，进而求得M点坐标； 设M（x，-x2-2x+3），则N（x，x+3），MN=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x，∴S△MAC =S△AMN +S△CMN = MN×3= (-x2-3x)= - (x+ )2+ ，∵- 0， ∴当x=- 时，S△MAC的值最大为 ， 当x=- 时，y=-(- )2-2×(- )+3= ， ∴点M的坐标为（- ， ）； 例2题解图③ 解：存在点M，使得△MAC的面积最大. 如解图③，过点M作MN∥y轴，交AC于点N， N M 【思维教练】要确定H点的位置，根据△HGA被分成面积为1∶2的两部分，△HAI和△AIG高相等，对称轴在y轴左侧，可分HI与IG为1∶2或2∶1两种情况，列方程即可求解； （6）点H是抛物线第二象限内一点，作HG⊥x轴，试确定H点的位置，使△HGA的面积被直线AC分为1∶2的两部分； 例2题图⑤ 解：如解图④，由（5）可知，可分两种情况讨论： ①若HI=2IG，则有-x2-3x=2(x+3) （-3＜x＜0）， 整理得x2+5x+6=0， 解得x1=-2，x2=-3（不合题意，舍去）， ∴H（-2，3）； ②若2HI=IG，则有2(-x2-3x)=x+3 （-3＜x＜0），整理得2x2+7x+3=0， 解得 x1= - ，x2=-3（不合题意，舍去）， ∴H（- ， ）. 综上所述，有两种情况：H（-2，3）或H（- ， ）； 例2题解图④ H1 G2 G1 O H2 I1 I2 （7）在抛物线上是否存在一点R，且位于对称轴的左侧，使S△RBC = ，若存在，求出此时点R的坐标；若不存在，请说明理由. 【思维教练】先假设存在点R，使得 S△RBC = .过点R作BC的垂线交BC 的延长线于点K，可得 BC·RK= ， 此时点R，K坐标不易计算，可考虑作 RH∥y轴与BC的延长线交于点F，利 用△RKF与△BOC相似，RF·BO＝BC·RK＝9，设出R点坐标利用此关系式列方程即可求解. 例2题图⑥ 例2题解图⑤ 解：存在点R，使得S△RBC＝ ，且位于对称轴的左侧.如解图⑤，过点R作RK⊥BC，交BC的延长线于点K，作RH∥y轴，交x轴于点H，交BC的延长线于点F， 则∠F=∠BCO，∠RKF=∠BOC=90°， ∴△RKF∽△BOC， ∴ ， ∴RF·BO=BC·RK， 又∵S△RBC = ，BO=1， ∴ BC·RK= BO·RF= ， ∴RF=9. F R K H 由B（1，0），C（0，3）可求出直线BC的解析式为y=-3x+3， 设R（x，-x2-2x+3），则F（x，-3x+3）， ∴RF=-3x+3-（-x2-2x+3）=x2-x， ∴x2-x=9， 解得x1= ， x2= （不合题意，舍去）， ∴R（ ， ）. F K H R 例2题解图⑤ 拓展三 二次函数与特殊四边形判定问题 * 拓展题型 二次函数综合题 拓展一 二次函数与线段和差问题 拓展二 二次函数与三角形面积问题 拓展三 二次函数与特殊四边形判定问题 拓展一 二次函数与线段和差问题 典例精讲 例1 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0)与x轴交于点A、 B（1,0)，与y轴交于点C，直线y= x-2经过点A、C.抛物线的顶点为D,对称轴为直线l . （1)求抛物线的解析式； 【思维教练】已知直线y= x-2经过 点A、C，结合题干，可求得A、C两 点的坐标，结合B(1,0)，代入抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)求