2015年高考理科数学(全国卷)参考 答案.doc

PAGE PAGE 225 2015年普通高等学校招生全国统一考试卷理科数学（全国课标Ⅰ卷）参考答案 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题（60分） 1-12 ADCAA BADCC BD 第Ⅱ卷（非选择题 90分） 二、填空题（20分） 13．1 14． 15．3 16． 三、解答题 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵，① ∴， ② 由②-①得 ，即 ． ∵，∴． 又由，解得（舍去），． ∴是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ∴ ． 设数列的前项和为，则 ． 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）连接，设 ，连接. 在菱形中，不妨设，则由得. ∵平面，， ∴. 又∵， ∴，且. 在中，可得， ∴. 在中，可得. 在直角梯形中， ∵， ∴. ∵，∴. 又∵，∴平面. ∵平面，∴平面平面. （Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）可得，，，， ∴， ∴. ∴直线与直线所成角的余弦值为. 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型. （Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程. 由已知条件得 ， . ∴关于的线性回归方程为 ， ∴关于的回归方程. （Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当时，年销售量的预报值 ， 年利润的预报值 . （ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润的预报值 ， ∴当，即时， 取得最大值. ∴年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. 20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）当时，解方程组 得， ∴，或 . 又∵， ∴曲线在处的导数值为，在点处的切线方程为 ，即 ； 曲线在处的导数值为，在点处的切线方程为 ，即 . ∴所求切线方程为和. （Ⅱ）存在符合题意的点.证明如下： 设为符合题意的点. 由得. ① 令，直线的斜率分别为，则是方程①的两个根，且 ， ∴ . 当时，有，则直线的倾角与直线的倾角互补， ∴，∴点符合题意. 21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，即 解得， ∴当时，轴为曲线的切线. （Ⅱ）①当时，，从而， ∴在无零点. 当时，若，则 ， ， ∴是的零点； 若，则 ， ∴不是的零点. ②当时，， ∴只需考虑在的零点个数. （ⅰ）若或，则 在无零点， ∴在单调. ∵， ∴当时，在有一个零点；当时，在没有零点. （ⅱ）若，则在单调递减，在单调递增， ∴在中，当时，取得最小值，且最小值为 . 当，即时，在内无零点； 当，即时，在内有唯一零点； 当，即时， ∵， ∴当时，在内有两个零点；当时，在内有一个零点. 综上，当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点. 22．（本小题满分10分） 解： （Ⅰ）连接，由已知得， . 在中，由已知得，， ∴. 连接，则. 又∵， ∴，即 ， ∴是的切线. （Ⅱ）设，则由已知得 . 由射影定理可得，，即，解得， ∴. 23．（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）∵， ∴的极坐标方程为， 的极坐标方程为 . （Ⅱ）将代入 ，得 ， 解得， ∴，即， ∵的半径为1， ∴的面积为， 24．（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）当时， ∴等价于不等式组或或 不等式组无解；由解得； 由解得， ∴的解集为. （Ⅱ）由题设可得 ∴函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为， ，，的面积为. 由题设得，解得，或（舍去）， ∴的取值范围为. 2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国课标 = 2 \* ROMAN II卷）参考答案 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题（60分） 1-12 ABDBC DCBCB DA 第Ⅱ卷（非选择题 90分） 二、填空题（20分） 13． 14． 15．3 16． 三、解答题 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵平分， ∴， ∴． ∵的面积是面积的2倍， ∴，∴． ∴由正弦定理可得． （Ⅱ）由已知条件得 ，即 ， ∴． 在和中，令，则由余弦定理知 ， ， ∴． 由（Ⅰ）知，∴． 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下 通过茎叶图可以看出，地区用户满意度评分的平均值高于地区用户满意度评分的平均值；地区用户满意度评分比较集中，地区用户满意度评分比较分散． （Ⅱ）记表示事件：“地区用户的满意度等级为满意或非常满意”； 表示事件：“地区用户的满意度等级为非常满意”； 表示事件：“地区用户的满意度等级为不满意”； 表示事件：“地区用户的满意度等级为满意”， 则与独立，与独立，与互斥，， ． 由所给数据得发生的频率分别为，故 ， ， ． 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）交线围成的正方形如图： （Ⅱ）作，垂足