三角形添加辅助线技巧1.doc

第四讲·三角形添加辅助线技巧 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D点在AB边上，E在AC边的延长线上，DE交BC于点F，BD=CE，求证：DF=EF. 由D点作BC的平行线交AC于G 因为DG∥BC，所以三角形ADG为等腰三角形，则：AD=AG 因为AB=AC，所以：BD=(AB-AD)=(AC-AG)=CG。 那么C为三角形DEG的边EG上的中点，DG∥BC 根据中位线定理，则有：F为ED的中点，即：DF=EF。得证 3、已知：如图，在△ABC中，AB=2AC，∠1=∠2，AD=BD，求证：CD⊥AC. 证明：过D作DM⊥AB，垂足为M, 因为AD=BD, 所以AM=BM=AB/2(三线合一)， 因为AB=2AC, 所以AC=AM, 因为AD平分∠BAC， 所以∠1=∠2， 在△ADC和△ADM中, AC=AM, ∠2=∠1, AD为公共边， 所以△ADC≌△ADM, 所以∠ACD=∠ADM=90, 即:CD⊥AC 延长AD交BM于M点 因为D为BC的中点 所以ABMC为平行四边形 所以BM=AC 因为BE=AC 所以BE=BM 所以角BEM=角BME 因为BM//AC 所以角CAM=角BME=角BEM 因为角BEM=角AEF(对等角) 所以AF=EF 已知AD是ABC的中线,AE是ABD的中线,且AB=BD,求证：AC=2AE 可证明△ABE∽△CBA（SAS）则∠EAB=∠ACB，∠AEB=∠CAB 且∠ADB =∠ACB+∠CAD=∠DAB=∠EAB+∠DAE=∠ACB+∠DAE 所以∠CAD=∠DAE AD角CAE平分线 可由角分线定理得AC：AE=CD：DE=2 AC=2AE 取AB的中点E，连接DE、EM。 因为，DE是Rt△ABD斜边上的中线， 所以，DE = BE = (1/2)AB ， 可得：∠BDE = ∠B 。 因为，EM是△ABC的中位线， 所以，EM‖AC ， 可得：∠DME = ∠C 。 因为，∠DEM = ∠BDE-∠DME = ∠B-∠C = ∠C = ∠DME ， 所以，DM = DE = (1/2)AB 8.在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, ∠CAB的平分线交BD于点F，交BC于点G，求证：CG=2OF. 证明：找CG中点E，连接OE，证明OF=GE。 （四）截长: 9.已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若∠C=2∠B,证明：AB=AC+CD. 在三角形ABC的边AB上截AC1=AC 则对于三角形ADC和三角形ADC1用三角形全等的边角边定理可知 这两个三角形全等 所以AC=AC1,DC=DC1 角ACD=角AC1D=2倍角B 又因为角AC1D=角B+角C1DB 故角C1DB=角B 故BC1=DC1=DC 所以AB=AC1+C1B=AC+CD 证毕 在BC上取BD=BF，连接OD。 因为BF=BD，角ABE=角CBE，BO=BO， 所以，三角形BFO全等于三角形BDO， 所以，角BOF=角BOD，OF=OD。 因为角BOC=角ABE+角BFC=角ABE+角A+角ACF， 而角ABE=角ABC/2，角ACF=角ACB/2， 所以，角BOC=角A+（角ABC+角ACB）/2=角A+（180-角A）/2=90度+角A/2=120度。 所以，角BOF=角BOD=角COD=角COE=60度； 又因为OC=OC，角ACF=角BCF， 所以，三角形COD全等于三角形COE， 所以，OD=OE，CD=CE， 所以，OE=OF，BC=BD+CD=BF+CE。 证：延长DC至G，使CG=AE，连接BG ∵正方形ABCD中 ∴AB=BC（正方形各边相等） ∴∠A=∠BCF=90°（正方形各角相等且为90°） ∴∠A=∠BCG=90° 在△BAE与△BCG中 BA=BC ∠A=∠BCG AE=CG ∴△BAE≌△BCG（SAS） ∴BE=BG（全等三角形对应边相等） ∴∠ABE=∠CBG（全等三角形对应角相等） ∵正方形ABCD中 ∴AB∥CD（正方形对边平行） ∴∠ABF=∠BFC ∴∠BFC=∠1+∠ABE=∠2+∠CBG=∠FBG ∴FG=BG（等角对等边） ∴BE=BG=GF =CG+CF=AE+CF