全等三角形辅助线分类.ppt

A B D E F M N ∟ ∟ 如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D. A C B D 连接AC 构造全等三角形 连线 构造全等 连线 构造全等 如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的长. 连接BD 构造全等三角形 A C B D O 如何利用三角形的中线来构造全等三角形？ 可以利用倍长中线法，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。 如图，若AD为△ABC的中线， 必有结论： A B C D E 1 2 延长AD到E，使DE=AD，连结BE（也可连结CE）。 △ABD≌△ECD， ∠1=∠E， ∠B=∠2， EC=AB，CE∥AB。 已知，如图AD是△ABC的中线， A B C D E 延长AD到点E，使DE=AD， 连结CE. 思考：若AB=3,AC=5 求AD的取值范围？ 倍长中线 可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。 如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？ 问题： 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。 方法一： A B C D E 必有结论： 在AB上截取AE=AC，连结DE。 △ADE≌△ADC。 ED=CD， 3 * 2 1 ∠AED=∠C， ∠ADE=∠ADC。 方法二： A B C D F 延长AC到F，使AF=AB，连结DF。 必有结论： △ABD≌△AFD。 BD=FD， 如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？ 问题： 3 * 2 1 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。 可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。 ∠B=∠F， ∠ADB=∠ADF。 如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？ 问题： A B C D M N 方法三： 作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。 必有结论： △AMD≌△AND。 DM=DN， 3 * 2 1 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。 可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。 AM=AN， ∠ADM=∠AND。 （还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN） 练习1 如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B A B C D E 1 2 2 1 证明: 在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。 ∵ AD是∠BAC的角平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） 在△AED和△ACD中 ∵ AE=AC（已知） ∠1=∠2（已证） AD=AD（公共边） ∴△AED≌△ACD（S.A.S） 3 ∴∠B=∠4（等边对等角） 4 * ∴ ∠C＝∠3（全等三角形的对应角相等) 又∵ AB=AC+CD=AE+EB（已知） ∴EB=DC=ED（等量代换） ∵ ∠3= ∠ B+∠4= 2∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和） ∴∠C=2∠B（等量代换） ED=CD（全等三角形的对应边相等） Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段 典例2:如图,△ABC中, ∠C =90o,AC=BC, AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC. A C D 过点D作DE⊥AB 构造了: 全等的直角三角形且距离相等 B E 思考: 若AB=15cm,则△BED的周长是多少? Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段 典例3:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o, BE、CE均是角平分线, 求证:BC=AB+CD. A C D 过点E作EF⊥BC 构造了: 全等的直角三角形且距离相等 B F 思考: 你从本题中还能得到哪些结论? E 证明： 例1 已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180° D A B C E 在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。 ∵ BD是∠ABC的角平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） 在△ABD和△EBD中 ∵ AB=EB（已知） ∠1=∠2（已证） BD=BD（公共边） ∴△ABD≌△EBD（S.A.S） 1 2 4 3 ∵ ∠3+ ∠4＝180° （平角定义）， ∠A＝∠3（已证） ∴∠A+ ∠C＝180° （等量代换） 3 2 1 * ∴ ∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等） ∵ AD=CD（已知），AD=DE（已证） ∴DE=DC（等量代换） ∴∠4=∠C（等边对等角） AD=DE（全等三角形的对应边相等