第四章 函的连续性.ppt

§1 连续性概念 §2 连续函数的性质 §3 闭区间上连续函数的性质 函数的连续性 一、连续函数的性质 二、初等函数的连续性 一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理 练习3 讨论下列函数在给定点处的连续性。 （1） 在 处 （2） 在 处 解： ， 解： 所以 ， 在 处连续 所以， 不存在， 在 处间断。 求下列 函数的间断点 （3） （4） 解： 为初等函数，在定义域内连续 ， ，定义域为 间断点为 解： 不是初等函数，分段点 且 因为 所以， 在 处间断。 （5）求极限 解：初等函数在定义区间内连续，函数 定义域为 所以， 小结 (1), 函数的连续性; (3), 函数的间断点; (2), 函数左连续与右连续; (4), 初等函数的连续性. 作业 P73: 2, 3, 4, 5, 6, 7. §2 连续函数的性质 定理1 (局部有界性) 定理2 (局部保号性) 内有界 在 则 连续 在点 若函数 ) ; ( ) ( , ) ( 0 0 d x U x f x x f ). ) ( ( ) ( ) ; ( ), ; ( )), ( 0 ( ) ( 0 ) 0 ) ( ( 0 ) ( , ) ( 0 0 0 0 0 0 0 r x f r x f x U x x U x f r x f r x f x f x x f - ? $ - 或 有 使得 或 则 或 且 连续 在点 若函数 d d 定理3 设函数f(x)和g(x)在点x0连续? 则函数 在点x0也连续? 例1 因为sin x和cos x都在区间(-?? +?)内连续? 所以tan x和cot x在它们的定义域内是连续的? 三角函数 sin x、cos x、sec x、csc x、tan x、cot x 在其有定义的区间内都是连续的? (连续函数四则运算法则) 定理4 如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续? 那么它的反函数x?f ?1(y)在区间Iy?{y|y?f(x)? x?Ix}上也是单调增加(或减少)且连续的? 所以它的反函数y=arcsin x 在区间[-1? 1]上也是连续的? 例2 同样? y=arccos x 在区间[-1? 1]上是连续的? y=arctan x 在区间(-?? +?)内是连续的? y=arccot x 在区间(-?? +?)内是连续的? (反函数的连续性) 反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在它们的定义域内都是连续的? 定理4 如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续? 那么它的反函数x?f ?1(y)在区间Iy?{y|y?f(x)? x?Ix}上也是单调增加(或减少)且连续的? 所以它的反函数y=arcsin x 在区间[-1? 1]上也是连续的? 例2 (反函数的连续性) 注: (1)把定理中的x?x0换成x??? 可得类似的定理? 提示: 定理5 例3 解 设函数y?f[g(x)]由函数y?f(u)与函数u?g(x)复合而成? (复合函数的连续性) 设函数y?f[g(x)]由函数y?f(u)与函数u?g(x)复合而成? U(x0)?Df o g? 若函数 u?g(x) 在点 x0 连续? 函数 y?f(u)在点u0?g(x0)连续? 则复合函数y?f[j(x)]在点x0也连续? 定理5’ 定理5 设函数y?f[g(x)]由函数y?f(u)与函数u?g(x)复合而成? (