高等数学第十节第二章.ppt

第二节 注意: 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 例1. 计算 例2. 计算 例6. 计算 例7. 计算 练习2. 计算 练习4. 交换下列积分顺序 二、利用极坐标计算二重积分 设 例2. 例3. 计算 注: 例4. 求球体 例5. 计算 思考 *三、二重积分换元法 证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 因此面积元素的关系为 例1. 计算 例2. 计算由 例3. 试计算椭球体 内容小结 极坐标系情形: 若积分区域为 (3) 计算步骤及注意事项 思考与练习 2. 交换积分顺序 （3）区域如图4所示 （极点在D内） 图4 若 f ≡1 则可求得D 的面积 思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 答: 问 ? 的变化范围是什么? (1) (2) 解 所以圆方程为 直线方程为 把积分 化为极坐标形式，并计算积分值 解： 因为积分区域D为 因为被积函数的特点，选择极坐标法 区域D： 原式= 其中 解: 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 由于 故 坐标计算. 而在极坐标系下计算，面积元素中的 帮了很大的忙. 可见，不同的坐标系各有不同的好处. 利用例3可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 事实上, 当D 为 R2 时, 利用例3的结果, 得 ① 故①式成立 . 解 被圆柱面 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设 由对称性可知 其中D是圆域 利用极坐标计算： （上一单元的例7） 解 解 解 设f ( x, y )为连续函数，则 等于（ ） ( A） ( B） C ( D） ( C） 定积分换元法 满足 一阶导数连续; 雅可比行列式 (3) 变换 则 定理: 变换: 是一一对应的 , 用平行于坐标轴的 直线分割区域 任取其中一个小矩 形, 其顶点为 通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边 形, 其对应顶点为 则 同理得 当h, k 充分小时, 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为 从而得二重积分的换元公式: 例如, 直角坐标转化为极坐标时, 其中D 是 x 轴 y 轴和直线 所围成的闭域. 解: 令 则 所围成的闭区域 D 的面积 S . 解: 令 则 解: 由对称性 令 则D 的原象为 的体积V. (1) 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 : 若积分区域为 则 若积分区域为 则 则 (2) 一般换元公式 且 则 在变换 下 * *三、二重积分的换元法 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第十章 平行截面面积为已知的立体的体积 立体体积 回忆 一、利用直角坐标计算二重积分 设曲顶柱的底为 y z 截面 截面面积函数 注: 若 ?(x,y)≤0 仍然适用。 注意: 1）上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算; 2）积分次序: X-型域 先y后x; 3）积分限确定法: 域中一线插, 内限定上下， 域边两线夹，外限依靠它。 为方便，上式也常记为： 同理， Y-型域下二重积分的计算： ［Y－型域下］ 于是 1）积分次序: Y-型域 ,先x后y; 2）积分限确定法: “域中一线插”, 须用平行于x轴的射线穿插区域 。 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域 , 则 注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。 利用直角坐标计算二重积分的步骤 （1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标； （3）确定积分限，化为二次定积分； （2）根据积分域类型, 确定积分次序； （4）计算两次定积分，即可得出结果. 回忆 牛顿—莱布尼兹公式 基本积分方法 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域, 则 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 及直线 则 解 解 积分区域如图 解 积分区域如图 解 原式 解 其中D 由 所围成. 解: 令 (如图所示) 显然, 其中D是圆域 例8. 求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积. 解: 设两个直圆柱方程为 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 解 其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X – 型域 : 先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便,