一元二次方程知识点报告.doc

PAGE PAGE 第二章 一元二次方程 本章中考动向：会用因式分解法、公式法、配方法解简单系数的一元二次方程；了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系并能进行简单运用；能根据具体问题中的数量关系列方程，能根据具体问题的实际意义检验方程的解的合理性。 一. 知识点： 1. 一元二次方程的概念 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化成（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。注：（①整式方程，含有一个未知数；②整理后未知数的最高次数是2） 2. 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于的一元二次方程，经过整理，化成：（a≠0）。 这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中是二次项，a是二次项系数；是一次项，b是一次项系数，c是常数项。关键：（1）a≠0；（2）系数带上符号 3.一元二次方程的解（根） 能使一元二次方程两边的值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根。 应用：若是方程的解（根），则代入方程，可使其成立。通常结合恒等变形来求一些式子的值。 例：已知a是方程 的一个根，试求 的值。 4. 配方法解一元二次方程：将一元二次方程转化成 （n≥0）的形式。 通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根。 （n≥0）。 关键：将二次项系数化为1的方程的两边同时加上一次项系数一半的平方 注：在求解一些式子的最值问题时，我们是将式子配成完全平方，再利用完全平方式子的非负性来解决。例如：当x取何值时，代数式 的值最小？求出这个最小值？ 5. 公式法解一元二次方程 对于一元二次方程（a≠0），当≥0时，利用配方法可算出它的根是 ，这个式子成为一元二次方程的求根公式。 关键步骤：（1）将方程化为一般形式，确定公式中a，b，c的值；（2）先求出 的值，再考虑是否用公式。 6. 一元二次方程根的判别式（Δ=） （1）Δ＞0时，方程（a≠0）有两个不等的实数根 （2）Δ=0时，方程（a≠0）有两个相等的实数根 （3）Δ＜0时，方程（a≠0）没有实数根 7．因式分解法解一元二次方程（ab=0，则a=0或b=0） 步骤：（1）整理方程，使其右边为0（这很重要） ；（2）将方程左边分解为两个一次式的乘积；（3）令每个一次式分别为0，形成两个一元一次方程，他们的解就是一元二次方程的解。 常用的因式分解法：（1）提公因式；（2）公式法；（3）十字相乘： 对于第三种方法要牢记两数之和为一次项系数，两数之积为常数项，此法在应用题中比较方便。 技巧：右化零，左分解，两因式，各求解 8. 一元二次方程的根与系数的关系 （1） ， （2） （3） 9．一元二次方程解应用题 （1）列方程解应用题的关键在于找出题目中的等量关系，有些等量关系比较明显，有些隐含在题意当中，需要分析题意，挖掘出来。 （2）在一元二次方程解应用题中，还有一个关键的地方在于舍根。检验方程的根，把不符合实际意义和不符合题意的根舍去。 （3）常见的等量关系 常见题型 等量关系 几何问题 各种图形的周长、面积、体积公式等 销售问题 利润=售价-进价 利润率=利润 进价=（售价-进价）进价 售价=进价（1+利润率） 总利润=总售价-总成本=单个利润总销量 增长率问题 （a为起始量，b为终止量，x%为增长率） 利润问题 本息和=本金+利息 利息=本金利率存期 三. 重难点分析 1.一元二次方程和一元二次方程的根的问题 （1）一元二次方程要抓住①未知数x的最高次数2；②二次项系数不为零两个关键点 （2）如果有X0是方程的解，则有式子 成立。当求含有X0代数式的值时，找出该代数式与相类似的结构进行整体代入求值。 2.解一元二次方程的问题 （1）根据方程的形式，用适当的方法求解一元二次方程（公式法和配方法适用于所有一元二次方程，因式分解则适用于部分方程） （2）利用判别式（Δ=），我们可以确定方程根的情况，若有根则Δ≥0。但是要注意一些二次项前面有未知数的方程，若明确说是一元二次方程，则要考虑二次项不为零；若只是说是方程，则要更具二次项系数是否为零进行分类讨论。 （3）在没有规定方法的前提下解一元二次方程，首先考虑用因式分解法，其次考虑用公式法。对于系数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系数是偶数，可选用配方法。 （4）知道一元二次方程的两个根，就可以知道用因式分解法求解的过程， → ， （注意：和分解出来的数互为相反数） 3.根与系数的关系问题 （1）已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求出方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根，也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值。 如：已知关于的方程 的一个根是2，求方程的另一个根和的值？ （2）已知方程两根的关系求待定字母系