三角形“四心”定义与性质.doc

PAGE 1 三角形“四心”定义与性质 所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。 一、三角形的外心 定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心， 即外接圆圆心。的重心一般用字母表示。 性 质： 外心到三顶点等距，即。 外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即. 3.。 二、三角形的内心 定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。的内心一般用字母表示，它具有如下性质： 性 质： 1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。 2.三角形的面积＝三角形的周长内切圆的半径． 3.； 三角形的周长的一半。 4.，。 三、三角形的垂心 定 义：三角形三条高的交点叫重心。的重心一般用字母表示。 性 质： 顶点与垂心连线必垂直对边， 即。 △的垂心为，△的 垂心为，△的垂心为。 四、三角形的“重心”： 定 义：三角形三条中线的交点叫重心。的重心一般用字母表示。 性 质： 1.顶点与重心的连线必平分对边。 2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的倍。 即 重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即. 向量性质：（1）； （2），5.。 五、三角形“四心”的向量形式： 结论1：若点为所在的平面内一点，满足， 则点为的垂心。 结论2：若点为△ABC所在的平面内一点，满足， 则点为的垂心。 结论3：若点满足，则点为的重心。 结论4：若点为所在的平面内一点，满足， 则点为的重心。 结论5：若点为所在的平面内一点，并且满足 （其中为三角形的三边），则点为△ABC的内心。 结论6：若点为所在的平面内一点，满足，则点为的外心。 结论7：设，则向量，则动点的轨迹过的内心。