物理数学基礎(’12)-kobe.pdf

物理数学基礎 (’12) (授業のテーマと目標) (授業の内容と計画) ?高校数学のテスト　 ?微分?積分 (高階微分、マクローリン?テーラー級数、オイラーの公式、 微分方程式、偏微分と全微分、多重積分とヤコビアン、線積分、面積分、 体積積分、ガウス?ストークスの定理) ?ベクトルの演算とベクトル解析 (外積、Levi-Civitaテンソル、grad、div、 rot、ベクトルの３重積、有用な公式) ?線形代数（線形変換と行列、回転の行列、行列としての虚数単位、微分 を行列で表すこと、エルミート行列、固有ベクトル、固有値と対角化） 　 (参考文献) ?“微分積分” 薩摩順吉 著（理工系の基礎数学）（岩波書店） (成績評価（目安）) 中間テスト：期末テスト = 4 : 6 　 　　　　　 3第1章 微分?積分 1.1 高階微分、微分演算子 　 関数 f(x)を n 回微分したものを f (n)(x), dn dxn f(x) (1.1) の様に書く。f (2)(x)を f ′′(x)と書いたりもする。 例 1.1 f(x) = exの場合には何回微分しても変わらない：f (n)(x) = ex。 積の微分の公式 d dx (fg) = f ′g + fg′ (1.2) を繰り返し使うと d2 dx2 (fg) = f ′′g + 2f ′g′ + fg′′ . . . dn dxn (fg) = n∑ k=0 nCkf (k)g(n?k) (1.3) これを　 「ライプニッツの公式」 という。 d dx g(x)をあたかも g(x)に左から d dx を掛けたものの様に見なすことに する。すると d2 dx2 (fg) = (f ′′ + 2f ′ d dx + f d2 dx2 )g (1.4) と書くことも出来る。括弧の中の f ′′ + 2f ′ d dx + f d 2 dx2 を関数 g(x) に掛け ると別の関数を作る出すので、これを “微分作用素”、“微分演算子”と呼 ぶことがある。演算子を掛けるというのは形式的（抽象的）な感じがす 4 第 1章 微分?積分 るが、関数を微分することは、後で議論する「線形変換」の一種であり、 線形変換はベクトルに対する行列の掛け算で表せるので、実際上も意味 のある書き方なのである。量子力学では、運動量やエネルギーは、こう した微分演算子（シュレディンガー）あるいは行列（ハイゼンベルグ）に 対応することを学ぶ。 1.2 平均値の定理とテイラー?マクローリン級数 　 f(a+?x)?f(a) ?x で?xを十分小さくとれば f ′(a)にほぼ一致する。よって f(a+?x) f(a) + f ′(a)?x (1.5) とが成り立つ。これは aでの情報 (f(a), f ′(a))のみを用いて a+?xの所 の関数値を近似的に与えるものであり、?x → 0の極限で両辺は正確に一 致すると考えられる。つまり、?x を限りなくゼロに近づけたものを dx と書くことにし、関数値の変化分?f = f(a +?x)? f(x)で?x → 0の 極限をとったものを df = f(a+ dx)? f(a)と書くと、 df = f ′(a)dx (1.6) が正確に成り立つと考えられる。この時 df を “微分”と呼ぶ。(1.6)は微 分を表す df dx = f ′(a)で分母を（形式的に）払ったものと見なせる。例え ば f(x) = x2とすると df = (a+ dx)2 ? a2 = 2adx+ dx2 (1.7) であり、一方 f ′(a) = 2aなので右辺は 2adxとなって、dx2の項のために (1.6)は成立しない様に思える。しかし、dx は?xをゼロに持って行く極 限なので、 dx2 dx = lim ?x→0 ?x2 ?x = 0 (1.8) と考えてよい。つまり、こうした dxの “高次の微小量”は無視して良いの で、(1.6)は正確に成り立つと考えてよい。a → x と置き換えて df = f(x+ dx)? f(x) = f ′(x)dx = df dx dx (1.9) 1.2. 平均値の定理とテイラー?マクローリン級数 5 と書いても良い。この書き方を用いると df dx 等は df を dx で割ったもの と思って良く、色々の関係式が自明なものに成る。例えば、合成関数 y = f(u), u = g(x)を考えると dy dx = dy du du dx (1.10) が言えて、合成関数の微分の公式が直ちに得られる。 実際には、?xがいくら小さくても有限である限り (1.5)は近似式であ るが、近似式でなく、微分係数を用いて正確に表すことを可能にする定 理がある。即ち