数学と力学の基礎知識-ms.pdf

- 1 - 数学と力学の基礎知識 高校で学んだ数学や物理、化学などの知識は、本来、生活する上で必要な事項である が、将来、生活を便利にする機械やものなどを作り、そして、これらを人々に提供する プロフェッショナルとして活躍する技術者にとっては、物理や化学などの自然科学は， 最も基本をなす知識を与えてくれるものである。 自然科学においては，自然界の法則が導かれた過程と法則を理解し，この法則を述べ る専門用語をきちっと理解することは重要である。その際、数量間の関係を求めるとき の手段として，数学は必須の知識である。高校まで、物理、化学や数学は別々の科目と して扱われてきたので、学生諸君は、それらは互いに、関係のない科目と感じている方 が多い。しかしながら、工学は、自然科学における法則の応用であり，物理、化学や数 学は、密接に関係するものであり、特に、数学は、自然科学科目の共通言語のようなも のであることを工学を志す学生諸君は自覚していただきたい。 材料力学では，力の釣り合い，モーメントの釣り合いなどの力学的知識を使い，材料 中に生ずる抵抗力を計算によって導き，設計計算に必要な基本的な法則を定量的に明ら かにする。この時，物理における力学と量的な関係を導く数学の知識が必要とされる。 この章では，数学と力学の基礎的事項について述べる。公式を覚えていただくことは 目的ではなく、すでに学んだ簡単な事項について、どういうことを意味しているのか、 じっくり考えて理解していただくことが目的である。そうすることによって、工学の専 門科目にごくすんなりと入れることを期待している。 1 関数の極限値 、 、 、 、 ，関数の極限値は 微分 積分の基礎であるとともに 工学においては 現象の結果が 十分時間的が経過した後どうなるか、あるいは，遠く離れた位置における値など考察す るときに重要である。 図 １( )の円錐の体積を考えてみる。円錐の体積を簡単に求めるために，( )のようにd a 同じ高さ の円柱を階段状に積み重ねてみる．三角形は円錐の外形線であるが，これにh 収まるように同じ高さの円柱を重ねる。円柱の高さが小さくなると(図 ( ) ( ))円柱の1 b , c 外形線との隙間の面積は小さくなり，円柱の体積の合計は円錐の体積に近づくことが予 想される。高さｈを０にしたら，円柱は存在しなくなるが，高さｈを限りなく０に近づ ける状態を想定することが で，この状態をｈ→０と表現する。ｈ→０の極限では，極限 階段状の部分は直線に近づき，ほぼ，階段状の円柱を重ねた体積の合計は，円錐の体積 と同じくなることが考えられる。 - 2 - ( )３分割 ( ) 分割 ( ) 分割 ( )円錐a b 10 c 20 d 図 １ 積み重ねる円柱の高さを小さくしてゆくと円錐の体積に近づく 簡単な極限値の例を見てみる。図 ２は のグラフである。グラフの形からわかるy=1/x ように， が限りなく大きくなり，∞大になったとき， の値は限りなく０に近づく。こx y のことを極限値の表現で ( )1 と書く。 の記号は (限界，限度の意)の略であlim limit x yる また が＋の方から限りなく０に近づくときは。 ， ， の値は＋∞大になる。逆に、 が－の方から限りなくx ， 。 ，０に近づくときは の値は－∞大になる この時もy 極限値の記号で次のように書く。 図 ２ のグラフy=1/x ( )2 次の例は工学でよく使われる極限値の式である。 ( )3 別の表現では ( )4 と書く。 が非常に小さいとき、 と は近似的に等しい。x sinx x 材料力学においても、せん断ひずみ、圧力容器に生ずる２軸応力を導く式で、近似式とし て、前式の結果から、次のように考える。ｘが小さいとき、三角関数 は、近似的にｘにsinx x x x 1　のとき　　 ≒sin lim sin x x x→ = 0 1 ｘ ｙ 0 x y 1= 01lim = ∞→ xx ∞= +→ xx 1lim 0 ?∞= ?→ xx 1lim 0 - 3 - 。 、 ， 、 。 、等しい 式が簡単になり 微分 積分がしやすく 計算もしやすくなるからである また 図式的には、ｘが小さくなると、 のグラフは、 ｘのグラフに近づくことを意味してy=sinx y= いる。 図 ３ が小さくなると と のグラフはほぼ一致するx y=sinx y=x 同様に， の近似式もよく使われる。近似式を使うことにより、数式の扱いが簡単になることから 多用されている。つまり、一例として、 の積分より， の積分の方が簡単だからでtanx x ある。 微分法2 微分法も科学における現象を説明する方法として必須の方法である。今，自宅から