【2017年整理】二元函数中值定理的简单应用.doc

数学科学学院本科学年论文 二元函数中值定理的简单应用 目 录 一、引言 …………………………………………………………………1 二、主要定理的证明、应用 ……………………………………………1 2.1二元函数中值定理的第一种形式 …………………………………1 2.11定理及推论的证明………………………………………………1 2.12定理及推论的应用………………………………………………2 2.2二元函数中值定理的第二种形式 …………………………………5 2.21定理及推论的证明………………………………………………5 2.22定理及推论的应用………………………………………………5 2.3二元函数中值定理的不等式形式…………………………………6 2.31定理及推论的证明………………………………………………6 2.32定理及推论的应用………………………………………………8 三、结论 …………………………………………………………………9 四、参考文献 ……………………………………………………………9 五、致谢 …………………………………………………………………9 PAGE PAGE 9 二元函数中值定理的简单应用 内容摘要 给出了二元函数中值定理的三种不同形式：含一个参变量型、含两个参变量型和不等式型.在每一种形式下我们都给出主要定理的证明，充分了解定理的生成以及内容.此外，在就给出的定理的各种形式以及他们的推论加以推广、运用，得到许多在多元函数中得到广泛运用的重要定理. 关键词：二元函数 中值定理 一、引言 我们知道，一元函数的中值定理是数学分析中的一个重要定理，他深刻的揭示了函数在某些区间上的增量与函数在该区间内某点处的导数及区间的长度之间的关系，是利用导数研究函数性质的基础，本文将中值定理推广到二元函数（多元函数的代表），并利用最基本的公式、定理证明一些重要的结论和定理. 二、主要定理的证明、应用 2.1二元函数中值定理的第一种形式 2.11定理及推论的证明 定理1 若二元函数在点的邻域存在两个偏导数，则，全改变量 其中 证明： 显然，若点，则点与，且连接两点与或与的线段也属于，如图1,为此，将全改变量改写为如下形式： 图1 图1 上述等式右端第一个方括号内，是常数，只是由变到；第二个方括号内是常数，只是由变到.根据一元函数中值定理，有 其中 2.12 定理及推论的应用 定理2 若二元函数在点的邻域存在两个偏导数，且两个偏 数在点连续，则二元函数在点可微. 证明：（利用二元函数中值定理） ，根据定理，将全改变量写为： 其中 已知偏导数在连续，有 从而有 或 于是， 即函数在点可微. 注：偏导数连续是二元函数可微的充分条件，而不是必要条件. 定理3 若二元函数在以点为中心的矩形区域（边界平行坐标轴）满足下列条件： 与在连续（从而在连续）； ； . 则： 与，存在唯一一个（隐函数）使，，且. 在区间连续. 在区间有连续导数，且. 证明： 的证明未涉及到本文提到的二元函数中值定理，故略之，直接用其结论. 隐函数在区间连续，只需证明，，函数在连续， 已知与闭区间连续.且.则在有上界，在有下界.即与，，有 与 给自变量该变量，使，相应的有函数的该变量，即 或 且 ， 已知 与 根据二元函数中值定理，有， （1） 其中，将(1)式改写为 有 于是 即隐函数在连续，从而在连续. 隐函数在区间有连续导数，，由（1）式，有 其中. 已知在连续，从而当时，有，又可知与在连续，有 即隐函数在区间有连续导数，且 注：为使层次分明，定理2的结论分为三部分，实际上，这三部分可以合并，叙述以下更加简明的形式 “则存在点的邻域，在存在唯一一个有连续导数的隐函数，使，，且. 2.2二元函数中值定理的第二种形式 2.2