理论力学经典课件-第九章__拉格朗日方程（可编辑）.doc

理论力学经典课件-第九章__拉格朗日方程 第九章 拉格朗日方程 第九章 拉格朗日方程运用矢量力学分析约束动力系统,未知约束力多, 方程数目多,求解烦琐。能否建立不含未知约束力 的动力学方程? 将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合,建立动 力虚功方程,广义坐标化,能量化,化为拉氏第二 类方程,实现用最少数目方程,描述动力系统。9- 9-1 1 动力学普遍方程 动力学普遍方程 9-1-1方程的建立 9-1-2典型问题9-1-1方程的建立 1. 一般形式 n个质点。对有 m i i ?1,2 ?n FFm a0 则有 i Ni i i ,则有 给r i ?1,2,,n? i FF ?m ar0? i Ni i i 而双面理想约束 F? r0N i i 故有 FFr ?0 9-1 i Ii i 动力学普遍方程或达朗贝尔-拉格 朗日原理 不论约束完整,定常与否均适用。 9-1 动 力 学 普 遍 方 程9-1-1方程的建立 2广义坐标形式 q ,q ,q.q , 设完整约束系统有k个自由度,可取 1 2 3 k rr q ,q ,,q ,t? 为广义坐标。 i i 1 2 k kr i 则r? qi jq j ?1 j 代入式9-1, 交换 i,j次序,得 k * FFq0 Q Q j j j j ?1 nr i FF广义主动力Q i 式中 jq i ?1 j n d r * i F - m a 广义惯性力Q i i j d q i1 j 9-1 动 力 学 普 遍 方 程9-1-1方程的建立 因各 ?q线性无关 故有 j * 9-2 (j ?1, 2, ?k ) FF0 Q Q j j 等价形式 j W 0F 仅 ?q0 (j ?1,2, ?k ) 9-3 j 式中包含了惯性力虚功! 9-1 动 力 学 普 遍 方 程9-1-2 典型问题 1. 1. 已知重量 P ,P ,q,,r, 1 2 p 1 a g J轮转动惯量 ,求加速度 a? J r a p 1 p 2 Ja p 2 p g r 1 a 加惯性力,受主动力如图。 g p 1r给连杆 ,则r r r 由 有W0,F? P Pr 1 2 2 PPr ?sin? 2 aar2 J 01 2? g g r? 2 2 P+ P gr sin 1 2 ?a 2 2 P+ P r +2 Jg? 1 2 9-1 动 力 学 普 遍 方 程9-1-2 典型问题 1.由动能定理求导,如何求解? 1. 2.如何求约束力? 2 2.已知重量 轮纯滚,水平面光滑,求三棱 2. G ,G ,q,r, 1 2 柱加速度。 O r G 2 G1 9-1 动 力 学 普 遍 方 程9-1-2 典型问题 G 2 1 2 r2 g 加惯性力,受力如图。 G 2 a g 1 O 选 x , 广义坐标。 G 2 rr g ?x G 2 a1 G 由 1 x? a 1 gW 0, 0,x0 GF 1 G G G 有 1 2 2a? xr ?cos xax0 1 1 g g g 即?G ?G ?a ?G r ?cosa 1 2 1 2 又由 有W0 0,x0 , F 1 G G G 2 2 2 2rr?r a cos?r G sin?r 0 1 2 2 g g g 9-1 动 力 学 普 遍 方 程9-1-2 典型问题 3 G G 2 2r? a cos? gG sin? 0 b 即 1 2 2 g g 式a代入b,可得 G g sin22 a1 2 3GG2G sin1 2 2 G 2 令时,牵连惯性力 a 并不为零;x0 1 g G 2 令时,相对惯性力 并不为零, r0 g 两者相互独立。 9-1 动 力 学 普 遍 方 程9-1-2 典型问题 3. 均质圆柱与薄壁圆柱1、2,用绳相连,并多圈 3. 缠绕圆筒绳与滑轮A的重量不计。已知m ,m ,r, 试求 1 2 运动过程中轮心C与轮心O的加速度大小。 m 1 A r 1 O m 2 2 C r 图a 9-1 动 力 学 普 遍 方 程9-1-2 典型问题 JO 1 O A 11 m a 1 0自由度k2的理想约 m g 1 m a 2 C,C 2 束系统,取两轮转角 1 2 JC 2 图b 为广义坐标,其受力与运动 m g2 2 分析,如图b所示, vr? r,ar? ra C 1 2 C 1 2 2 令? 0, 0 ?W0 ,由 1 2F 有 m gm a r J0 b 2 2 C 2 C 2 2 9-1 动 力 学 普 遍 方 程9-1-2 典型问题 2 将式a及 Jm r 代入b式, C 2 JO 1 r? 2g c O 得 1 2 A 11