人教版数学必修5第二章数列21数列的概念与简单表示法(二).doc

§2.1数列的概念与简单表示法(二) 【对点讲练】 一.利用函数的性质判断数列的单调性 例1已知数列{an}的通项公式为an＝.求证:数列{an}为递增数列. 证明an＝＝1－ an＋1－an＝－＝＝. 由n∈N*,得an＋1－an0,即an＋1an.∴数列{an}为递增数列. 【总结】数列是一种特殊的函数,因此可用研究函数单调性的方法来研究数列的单调性. 【变式1】在数列{an}中,an＝n3－an,若数列{an}为递增数列,试确定实数a的取值范围. 【解答】若{an}为递增数列,则an＋1－an≥0.即(n＋1)3－a(n＋1)－n3＋an≥0恒成立. 即a≤(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1恒成立,即a≤(3n2＋3n＋1)min, ∵n∈N*,∴3n2＋3n＋1的最小值为7.∴a的取值范围为a≤7. 二.求数列的最大项 例2已知an＝ (n∈N*),试问数列{an}中有没有最大项?如果有,求出这个最大项;如果没有,说明理由. 【解答】an＋1－an＝n＋1·(n＋2)－n·(n＋1) ＝n＋1·＝n＋1·,则 当n≤7时, n＋1·0,当n＝8时, n＋1·＝0, 当n≥9时, n＋1·0, a1a2a3…a7a8＝a9a10a11a12…, 故数列{an}存在最大项,最大项为a8＝a9＝. 【总结】先考虑{an}的单调性,再利用单调性求其最值. 【变式2】已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4,则 (1)数列中有多少项是负数? (2)n为何值时,an有最小值?并求出最小值. 【解答】(1)an＝n2－5n＋4＝2－,当n＝2,3时,an0. ∴数列中有两项是负数. (2)∵an＝n2－5n＋4＝2－,可知对称轴方程为n＝＝2.5. 又因n∈N*,故n＝2或3时,an有最小值,其最小值为－2. 三.由递推公式求通项公式 例3已知数列{an}满足a1＝1,an＝an－1＋ (n≥2),写出该数列的前五项及它的一个通项公式. 【解答】由递推公式得a1＝1, a2＝1＋＝,a3＝＋＝, a4＝＋＝, a5＝＋＝. 故数列的前五项分别为1, , , , . ∴通项公式为an＝＝2－. 【总结】已知递推关系求通项公式这类问题要求不高,主要掌握由a1和递推关系先求出前几项,再归纳、猜想an的方法,以及累加:an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1;累乘:an＝··…··a1等方法. 【变式3】已知数列{an}满足a1＝,anan－1＝an－1－an,求数列{an}的通项公式. 【解答】anan－1＝an－1－an,∴－＝1. ∴＝＋＋＋…＋＝2＋1＋1＋…＋ ＝n＋1. ∴＝n＋1,∴an＝. 【课堂小结】 函数与数列的联系与区别 一方面,数列是一种特殊的函数,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的知识、函数 的观点、函数的思想方法来解题,即用共性来解决特殊问题. 另一方面,还要注意数列的特殊性(离散型),由于它的定义域是N*或它的子集{1,2,…,n},因而它的图象是一系列孤立的点,而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线,因此在解决问题时,要充分利用这一特殊性,如研究单调性时,由数列的图象可知,只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即anan－1),则图象呈上升趋势,即数列递增,即{an}递增an＋1an对任意的n (n∈N*)都成立.类似地,有{an}递减an＋1an对任意的n(n∈N*)都成立. 【课时作业】 一.选择题 1.已知an＋1－an－3＝0,则数列{an}是( ) A.递增数列 B.递减数列 C.常数项 D.不能确定 【解答】A 2.已知数列{an}的首项为a1＝1,且满足an＋1＝an＋,则此数列第4项是( ) A.1 B. C. D. 【解答】B 3.若a1＝1,an＋1＝,给出的数列{an}的第34项是( ) A. B.100 C. D. 【解答】C 解析a2＝＝＝,a3＝＝＝,a4＝＝＝, 猜想an＝,∴a34＝＝. 4.已知an＝ (n∈N*),记数列{an}的前n项和为Sn,则使Sn0的n的最小值为( ) A.10 B.11 C.12 D.13 【解答】B 解析∵－a1＝a10,－a2＝a9,－a3＝a8,－a4＝a7,－a5＝a6, ∴S110,则当n≥11时, Sn0,故n最小为11. 5.已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝,则a2 010的值为( ) A. B. C. D. 【解答】C 解析计算得a2＝,a3＝,a4＝,故数列{an}是以3为周期的周期数列, 又知2 010除以3能整除,a2 010＝a3＝. 二.填空题 6.已知数列{an}满足:a1＝a2＝1,an＋2＝an＋1＋an, (n∈