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第四节　极限运算法则 一　极限运算法则 二　极限的不等性 三　求极限方法举例 定理1 极限的四则运算法则 一、极限的运算法则 证： 由无穷小运算法则,得 有界， 推论1 常数因子可以提到极限记号外面。 推论2 定理1给出了极限的四则运算法则，它可以推广到 或 以及（3）中的某些情形： (a)当　　　时，而　　　时， (b)当　　　时，而　　　时， (c)当　　　时，而　　　时， (d)当　　　时，而　　　时， (e)当　　　时，而　　　时， 关于数列极限也有类似的四则运算法则。 定理2 （复合函数的极限运算法则） 则 设函数　　　　　　是由函数　　　　 与 复合而成， 在点　的某去心 存在　　　,当　　　　　　 时，有 邻域内有定义,若 且 证： 按函数极限的定义，需要证：对任意的 ，存在 ，当 而对任意　　 ，存在 ， 由于 对上面得到的　　　， 存在 ，当　　　　　　　时， 成立。由条件当　　　　　　 时， 成立，由于 当　　　　　　　时， 成立。 取 则当　　　　　　　时， 同时成立，即 成立， 从而 成立。 此定理给出了求复合函数的极限的公式 及 二、极限的不等性 证明：令 根据保号性定理，有 从而， 即 定理3 例1 解: 三、求极限方法举例 小结 , 0 ) ( 0 则商的法则不能应用，可用推广的公式求 若 = x Q 例2 解: （也可由无穷小的倒数为无穷大来求） 商的法则不能用，但由推广的公式（e）可得 例3　 求 解： 当　　　时，分子、分母的极限都为零，此 时不能用极限的四则运算法则及推广公式。而可 用约去无穷小因子的方法将函数变形后求极限 例4 解: (无穷小因子分出法) 例5 求 解： 当　　　　时，分子分母都趋于无穷大， 用无穷大因子　 去除分子分母，然后再求极限