高三理科数学假寒作业及答案2014.1.24.doc

13-14学年度上学期高三理数综合练习(二) 高三理科数学寒假作业（函数与导数解答题） 函数性质及其应用 1. 已知函数是偶函数.(I)求的值; (II)设,若函数与的图象有且只有一个公共点,求实数的取值范围.【答案】(I)由函数 , , (II)函数与的图象有且只有一个公共点,即方程有且只有一个实根, 化简得:方程有且只有一个实根 令,则方程有且只有一个正根, ①,不合题意; ②若或若,不合题意;若 ,符合题意 ③若方程一个正根与一个负根,即综上:实数的取值范围是 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称． （Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若在区间上的值域为，求实数的取值范围； （Ⅲ）设函数，，其中.若对恒成立，求实数的取值范围． 所以为所求． ……………………13分 设函数.(1)若函数的图像在处的切线方程为,求实数的值;(2)若函数有个不同的零点,求证:.【答案】解:由题意得:,即,所以(2)由于是的两个不同的零点,可设,且, , 两式相减,可得:,又,从而 令,,则,则在上单调递增,从而所以，两个函数，的图像关于直线对称. （1）求实数满足的关系式； （2）当取何值时，函数有且只有一个零点； （）时，在上解不等式． .解：（）是函数图像上任一点，则它关于直线对称的点在函数的图像上，，. （2）当时，函数有且只有一个零点，两个函数的图像有且只有一个交点，两个函数关于直线对称，两个函数图像的交点就是函数，的图像与直线的切点. 设切点为，，，，, 当时，函数有且只有一个零点； （3）当=1时，设 ，则 ，当时，，， 当时，，． 在上是减函数. 又＝0，不等式解集是． 5.已知：函数，其中． （Ⅰ）若是的极值点，求的值； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）解：． 依题意，令，解得 ． 经检验，时，符合题意． ……4分 （Ⅱ）解：① 当时，． 故的单调增区间是；单调减区间是． …………………5分 ② 当时，令，得，或． 当时，与的情况如下： ↘ ↗ ↘ 所以，的单调增区间是；单调减区间是和． 当时，的单调减区间是． 当时，，与的情况如下： ↘ ↗ ↘ 所以，的单调增区间是；单调减区间是和． ③ 当时，的单调增区间是；单调减区间是． 综上，当时，的增区间是，减区间是； 当时，的增区间是，减区间是和； 当时，的减区间是； 当时，的增区间是；减区间是和． ……11分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知 时，在上单调递增，由，知不合题意． 当时，在的最大值是， 由，知不合题意． 当时，在单调递减， 可得在上的最大值是，符合题意． 所以，在上的最大值是时，的取值范围是． ………14分 6. 若，其中． （1）当时，求函数在区间上的最大值； （2）当时，若恒成立，求的取值范围．解：（1）当，时，， ，∴当时，， （2分） ∴函数在上单调递增 （4分（2）①当时，，， ，，∴在上增函数，故当时，②当时，，，（i）当时，在区间上为增函数，当时，，且此时ii）当，即时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，故当时，且此时iii）当，即时，在区间[1，e]上为减函数，故当时，综上所述，函数的上的最小值为得；由得无解；得无解； （13分） 故所求的取值范围是． ………10分 ②当即时，且 令解得 ………11分 此时取较小的根，即 ………12分 ， 当且仅当时取等号 ……13分 由于，所以当时，取得最小值 ……………………14分 解法二：对任意时，“恒成立”等价于“且” 由（2）可知实数的取值范围是 故的图象是开口向上，对称轴的抛物线……7分 ①当时，在区间上单调递增， ∴， 要使最小，只需要 ………8分 若即时，无解 若即时，………………9分 解得（舍去） 或 故（当且仅当时取等号）…………10分 ②当时，在区间上单调递减，递增， 则，…………………11分 要使最小，则即