高中数学专题训练抽象函数.doc

高中数学专题训练（一）——抽象函数 1. 已知函数y = f (x)(x∈R，x≠0)对任意的非零实数，，恒有f()=f()+f(), 试判断f(x)的奇偶性。 2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x)在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m)f (m),求实数m的取值范围 3. 设f(x)是R上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。 4. 设函数f（x）对任意都有f（=f（， 已知f（1）=2，求f（ 5. 已知f（x）是定义在R上的函数，且满足：f（x+2）[1－f（x）]=1+f（x），f（1）=1997，求f（2001）的值。 6. 设f（x）是定义R在上的函数，对任意x，y∈R，有 f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）≠0. （1）求证f（0）=1；（2）求证：y=f（x）为偶函数. 7. 已知定义在R上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？ 8. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当a+b≠0，都有＞0 （1）.若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小； （2）.若f（k＜0对x∈[－1，1]恒成立，求实数k的取值范围。 9.已知函数是定义在（-∞，3]上的减函数，已知对恒成立，求实数的取值范围。 10．已知函数当时，恒有. (1)求证: 是奇函数; (2)若. 11.已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足: .(1)求的值;(2)判断的奇偶性,并证明你的结论; (3)若,,求数列{}的前项和. 12.已知定义域为R的函数满足. (1)若 (2)设有且仅有一个实数,使得,求函数的解析表达式. 13.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时, 0.(1)求;(2)求和; (3)判断函数的单调性,并证明. 14.函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有0;②对任意,有;③. (1)求的值;(2)求证: 在R上是单调减函数; (3)若且,求证:. 15.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,.(1)证明:;(2)证明: 在R上单调递减; (3)设A=,B={},若=,试确定的取值范围. 16.已知函数是定义在R上的增函数,设F. (1)用函数单调性的定义证明:是R上的增函数; (2)证明:函数=的图象关于点(成中心对称图形. 17.已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称. (1)求的值;(2)证明: 函数是周期函数; (3)若求当时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象. 18．函数对于x0有意义，且满足条件减函数。 （1）证明：；（2）若成立，求x的取值范围。 19．设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有． （1）试判断函数的奇偶性； （2）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论． 20. 已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。 21. 已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。 参考答案： 1. 解：令= -1，=x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) ……①为了求f (-1)的值，令=1，=-1，则f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令==-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) ∴f(-1)=0代入①式得 f(-x)=f(x),可得f(x)是一个偶函数。 2. 分析：根据函数的定义域，-m，m∈[-2,2]，但是1- m和m分别在[-2，0]和[0，2]的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x)有性质f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一场大规模讨论。 解：∵f (x)是偶函数， f (1-m)f(m) 可得，∴f(x)在[0，2]上是单调递减的，于是 ，即 化简得-1≤m。 3. 解：因为f(x+3) =-f(x)，所以f(x+6)=f((x+3)+3) =-f(x+3)=f(x)，故6是函数f(x)的一个周期。又f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，所以f(x)=0从而f(1998)=f(6×333)=f(0)=0。 4. 解：由f（=f（，知 f（x）=f（≥0，x ， f（1）=2， 同理可得 5.解：从自变量值2001和1进行比较及根据已知条