2017高中数学抽象函数专题.pdf

实用文档 三、值域问题 例 4. 设函数 f(x) 定义于实数集上， 对于任意实数 x 、y ，f(x+y)=f(x)f(y) 总成立， 且存在 x x , 使得 f (x ) f (x ) ，求函数 f(x) 的值域。 1 2 1 2 解：令 x=y=0，有 f(0)=0 或 f(0)=1 。若 f(0)=0 ，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0 恒成立，这与存在实数 x x ，使得 f ( x ) f (x ) 成立矛盾，故 f(0) ≠0，必有 1 2 1 2 2 f(0)=1 。由于 f(x+y)=f(x)f(y) 对任意实数 x 、y 均成立，因此， f ( x ) f ( x ) 0 , 2 又因为若 f(x)=0, 则 f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0 与 f(0) ≠0 矛盾 , 所以 f(x)0. 四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法， 例 6、设对满足 x ≠0,x ≠1 的所有实数 x ，函数 f(x) 满足 , f x f x 1 1 x , 求 f(x) x 的解析式。 解: f (x ) f ( x 1 ) 1 x (x 0 且 x 1), (1) 用 x - 1 代换 x 得 : f ( x 1) f ( 1 ) 2 x 1 , （2） x x x 1 x x 3 2 再以 1 代换 (1)中的 x 得 : f( 1 ) f ( x ) 2 x . （3）由(1) (3) (2) 得 : f (x ) x 2 x 1 (x 0且x 1) 1 - x 1 - x 1 x 2 2x 2x 例 8. 是否存在这样的函数 f(x), 使下列三个条件 : 1 2 1 2 1 2 ①f(n)0,n ∈N;②f(n +n )=f(n )f(n ),n ,n ∈N*; ③f(2)=4 同时成立 ? 若存在 , 求出函数 f(x) 的解析式；若不存在，说明理由 . 解 : 假设存在这样的函数 f(x), 满足条件 , 得 f(2)=f(1+1)=4,